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== 概要 == | == 概要 == | ||
線形微分方程式とは、<math>f_1(x), \ f_2(x), \ \cdots, \ f_n(x), \ g(x)</math> をxのみの関数とする。<br> | |||
この時、以下の形の微分方程式をN階線形常微分方程式という。<br> | |||
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<math>\frac{dy^{(n)}}{dx} + f_1(x) \frac{dy^{(n - 1)}}{dx} + \cdots + f_{(n - 1)}(x) \frac{dy}{dx} + f_n(x)y = g(x) \quad \cdots \quad (1)</math><br> | |||
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上式において、<math>g(x) = 0</math> の時を<u>同次方程式</u>、<math>g(x) \ne 0</math> の時を<u>非同次方程式</u>と呼ぶ。<br> | |||
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線形常微分方程式には、連立1次方程式の解の構造との類似性があり、線形代数とのアナロジーがある。<br> | |||
定数係数2階線形常微分方程式は、電磁気学、動力学、量子力学、振動現象等の記述に現れる。<br> | |||
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== 解の存在と一意性 == | |||
定理（存在定理） : | |||
xのみの関数 <math>f_1(x), \ f_2(x), \ \cdots \ f_n(x), \ g(x)</math> が、区間Iで連続とする。 | |||
この時、I内の点 <math>x = a</math> における以下の初期条件のもとで、以下のN階線形常微分方程式の解は区間Iでただ1つ存在する。 | |||
初期条件 ： | |||
<math>y(a) = b_0, \quad \frac{dy(a)}{dx} = b_1, \cdots \frac{dy^{(n - 1)}(a)}{dx} = bn-1</math> | |||
N階線形常微分方程式 ： | |||
<math>\frac{dy^{(n)}}{dx} + f_1(x) \frac{dy^{(n - 1)}}{dx} + \cdots + f_{(n - 1)}(x) \frac{dy}{dx} + f_n(x)y = g(x) \quad \cdots \quad (1)</math> | |||
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