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「情報理論 - ガロア体」の版間の差分
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→GF(2)の2次の拡大体
(→拡大体) |
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累乗表示の性質から、ωをGF(2<sup>2</sup>)の原始根といい、ωを根にもつ<math>f(x) = x^2 + x + 1</math>をGF(2<sup>2</sup>)の原始多項式という。<br> | 累乗表示の性質から、ωをGF(2<sup>2</sup>)の原始根といい、ωを根にもつ<math>f(x) = x^2 + x + 1</math>をGF(2<sup>2</sup>)の原始多項式という。<br> | ||
さらに、<math>(x - \omega)(x - \omega^2) = x^2 - x(\omega + \omega^2) + \omega^3 = x^2 + x + 1 = f(x)</math>であるから、原始多項式f(x)はGF(2<sup>2</sup>)で<math>f(x) = (x - \omega)(x - \omega^2)</math>と因数分解される。<br> | さらに、<math>(x - \omega)(x - \omega^2) = x^2 - x(\omega + \omega^2) + \omega^3 = x^2 + x + 1 = f(x)</math>であるから、原始多項式f(x)はGF(2<sup>2</sup>)で<math>f(x) = (x - \omega)(x - \omega^2)</math>と因数分解される。<br> | ||
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==== GF(2)の3次の拡大体 ==== | |||
GF(2)の2次の拡大体の構成法にならって、GF(2)の3次の拡大体を構成する。<br> | |||
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まず、GF(2)上の3次の既約多項式を求める。<br> | |||
GF(2)上の3次の多項式<math>f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c \quad (a, b, c \in GF(2))</math>がGF(2)上で既約であるとは、<br> | |||
<math>f(0) = c \ne 0</math> かつ <math>f(1) = 1 + a + b + c \ne 0</math>であるから、<math>(a, b, c) = (1, 0, 1) \quad (0, 1, 1)</math>となる場合である。<br> | |||
したがって、GF(2)上の既約多項式は、以下の2つとなる。<br> | |||
<math>f(x) = x^3 + x^2 + 1, \quad f(x) = x^3 + x + 1</math><br> | |||
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GF(2)の3次の拡大体GF(2<sup>3</sup>)を構成するには、まず、GF(2)の3次の既約多項式<math>f(x) = x^3 + x + 1</math>を取り上げる。<br> | |||
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