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「情報理論 - ガロア体」の版間の差分
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GF(2)の3次の拡大体GF(2<sup>3</sup>)を構成するには、まず、GF(2)の3次の既約多項式<math>f(x) = x^3 + x + 1</math>を取り上げる。<br> | GF(2)の3次の拡大体GF(2<sup>3</sup>)を構成するには、まず、GF(2)の3次の既約多項式<math>f(x) = x^3 + x + 1</math>を取り上げる。<br> | ||
f(x) = 0の根をωとする時、<math>\omega^3 + \omega + 1 = 0</math>となり、したがって、<math>\omega^3 = - \omega - 1 = \omega + 1</math><br> | |||
また、<math>\omega \ne 0, \quad \omega \ne 1</math>であるから、ωはGF(2)に含まれない。<br> | |||
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このωを用いて集合<math>\{ a + b \omega + c \omega^2; a, b, c \in GF(2) \}</math>を作る。<br> | |||
この集合の要素を全て書くと、<math>\{ 0, 1, \omega, \omega + 1, \omega^2, \omega^2 + 1, \omega^2 + \omega, \omega^2 + \omega + 1 \}</math>となる。<br> | |||
この8個の要素のどの2つを加算しても、この集合の要素となる。<br> | |||
すなわち、この集合の和は閉じている。差においても閉じていることは明らかである。<br> | |||
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下表に、この集合(GF(2)の3次の拡大体GF(2<sup>3</sup>))の積の演算を示す。<br> | |||
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{| class="wikitable" | style="text-align: center; background-color:#fefefe; width:500px;" | |||
|- | |||
! style="background-color:#66CCFF;" | 積 | |||
! style="background-color:#66CCFF;" | 1 | |||
! style="background-color:#66CCFF;" | <math>\omega</math> | |||
! style="background-color:#66CCFF;" | <math>\omega + 1</math> | |||
! style="background-color:#66CCFF;" | <math>\omega^2</math> | |||
! style="background-color:#66CCFF;" | <math>\omega^2 + 1</math> | |||
! style="background-color:#66CCFF;" | <math>\omega^2 + \omega</math> | |||
! style="background-color:#66CCFF;" | <math>\omega^2 + \omega + 1</math> | |||
|- | |||
| style="background-color:#66CCFF;" | 1 | |||
| 1 || <math>\omega</math> || <math>\omega + 1</math> || <math>\omega^2</math> || <math>\omega^2 + 1</math> || <math>\omega^2 + \omega</math> || <math>\omega^2 + \omega + 1</math> | |||
|- | |||
| style="background-color:#66CCFF;" | <math>\omega</math> | |||
| <math>\omega</math> || <math>\omega^2</math> || <math>\omega^2 + \omega</math> | |||
|- | |||
| style="background-color:#66CCFF;" | <math>\omega + 1</math> | |||
| <math>\omega + 1</math> || 1 || <math>\omega</math> | |||
|} | |||
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