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「情報理論 - ガロア体」の版間の差分
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→GF(2)の3次の拡大体
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この集合の要素を全て書くと、<math>\{ 0, 1, \omega, \omega + 1, \omega^2, \omega^2 + 1, \omega^2 + \omega, \omega^2 + \omega + 1 \}</math>となる。<br> | この集合の要素を全て書くと、<math>\{ 0, 1, \omega, \omega + 1, \omega^2, \omega^2 + 1, \omega^2 + \omega, \omega^2 + \omega + 1 \}</math>となる。<br> | ||
この8個の要素のどの2つを加算しても、この集合の要素となる。<br> | この8個の要素のどの2つを加算しても、この集合の要素となる。<br> | ||
ちなみに、3次の既約多項式<math>f(x) = x^3 + x + 1</math> を用いる場合、<math>\omega^3 + \omega + 1 = 0, \quad \omega^3 = - \omega - 1, \quad \omega^3 = \omega + 1</math>となる。<br> | |||
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すなわち、この集合の和は閉じている。差においても閉じていることは明らかである。<br> | すなわち、この集合の和は閉じている。差においても閉じていることは明らかである。<br> | ||
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下表に、この集合(GF(2)の3次の拡大体GF(2<sup>3</sup>))の積の演算を示す。<br> | 下表に、この集合(GF(2)の3次の拡大体GF(2<sup>3</sup>))の積の演算を示す。<br> | ||
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{| class="wikitable" | style="text-align: center; background-color:#fefefe | {| class="wikitable" | style="text-align: center; background-color:#fefefe;" | ||
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! style="background-color:#66CCFF;" | 積 | ! style="background-color:#66CCFF;" | 積 | ||
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| style="background-color:#66CCFF;" | <math>\omega</math> | | style="background-color:#66CCFF;" | <math>\omega</math> | ||
| <math>\omega</math> || <math>\omega^2</math> || <math>\omega^2 + \omega</math> | | <math>\omega</math> || <math>\omega^2</math> || <math>\omega^2 + \omega</math> || <math>\omega + 1</math> || 1 || <math>\omega^2 + \omega + 1</math> || <math>\omega^2 + 1</math> | ||
|- | |- | ||
| style="background-color:#66CCFF;" | <math>\omega + 1</math> | | style="background-color:#66CCFF;" | <math>\omega + 1</math> | ||
| <math>\omega + 1</math> || 1 || <math>\omega</math> | | <math>\omega + 1</math> || <math>\omega^2 + \omega</math> || <math>\omega^2 + 1</math> || <math>\omega^2 + \omega + 1</math> || <math>\omega^2</math> || 1 || <math>\omega</math> | ||
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| style="background-color:#66CCFF;" | <math>\omega^2</math> | |||
| <math>\omega^2</math> || <math>\omega + 1</math> || <math>\omega^2 + \omega + 1</math> || <math>\omega^2 + \omega</math> || <math>\omega</math> || <math>\omega^2 + 1</math> || 1 | |||
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| style="background-color:#66CCFF;" | <math>\omega^2 + 1</math> | |||
| <math>\omega^2 + 1</math> || 1 || <math>\omega^2</math> || <math>\omega</math> || <math>\omega^2 + \omega + 1</math> || <math>\omega + 1</math> || <math>\omega^2 + \omega</math> | |||
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| style="background-color:#66CCFF;" | <math>\omega^2 + \omega</math> | |||
| <math>\omega^2 + \omega</math> || <math>\omega^2 + \omega + 1</math> || 1 || <math>\omega^2 + 1</math> || <math>\omega + 1</math> || <math>\omega</math> || <math>\omega^2</math> | |||
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| style="background-color:#66CCFF;" | <math>\omega^2 + \omega + 1</math> | |||
| <math>\omega^2 + \omega + 1</math> || <math>\omega^2 + 1</math> || <math>\omega</math> || 1 || <math>\omega^2 + \omega</math> || <math>\omega^2</math> || <math>\omega + 1</math> | |||
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例.1<br> | |||
<math>\omega^2 (1 + \omega + \omega^2) = \omega^2 + \omega^3 + \omega^4 = \omega^2 + \omega + 1 + \omega (\omega + 1) = 1</math><br> | |||
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例.2<br> | |||
<math>\omega^2 + \omega + 1</math>の逆元は、積が1となる元<math>\omega^2</math>である。<br> | |||
<math>\omega^2 (\omega^2 + \omega + 1) = 1</math>より、<math>\omega^2 = \frac{1}{\omega^2 + \omega + 1}</math>である。<br> | |||
したがって、<math>\frac{\omega}{\omega^2 + \omega + 1} = \omega \times \omega^2 = \omega^3 = \omega + 1</math>となる。<br> | |||
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