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「テイラー級数展開」の版間の差分
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このような直接的ではない情報を、下式の右辺のように計算すれば、それができる。<br> | このような直接的ではない情報を、下式の右辺のように計算すれば、それができる。<br> | ||
xとaとの間のわずかな距離はx−aと表せるが、これは(1)式の右辺に(x−a)や(x−a)<sup>2</sup>や(x−a)<sup>3</sup>という形で出てきている。<br> | xとaとの間のわずかな距離はx−aと表せるが、これは(1)式の右辺に(x−a)や(x−a)<sup>2</sup>や(x−a)<sup>3</sup>という形で出てきている。<br> | ||
<math> | <br> | ||
\begin{align} | テイラーの定理 | ||
f(x) &= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!}\frac{d^{n}f(a)}{dx^{n}}(x-a)^{n} \\ | <math>f(x)</math> が <math>a \le x \le b</math> において、<math>n</math>階微分可能な時 | ||
&= f(a)+f'(a)(x-a)+\frac{1}{2!}f''(a)(x-a)^{2}+\frac{1}{3!}f'''(a)(x-a)^{3}+ \cdots | |||
\end{align} | <math> | ||
</math> | \begin{align} | ||
< | f(x) &= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!}\frac{d^{n}f(a)}{dx^{n}}(x-a)^{n} \\ | ||
&= f(a)+f'(a)(x-a)+\frac{1}{2!}f''(a)(x-a)^{2}+\frac{1}{3!}f'''(a)(x-a)^{3}+ \cdots | |||
\end{align} | |||
</math> | |||
となる <math>b \, (a < b < x)</math> が存在する。 | |||
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このようにして、関数f(x)を無限級数の和に展開して表すことができる。<br> | このようにして、関数f(x)を無限級数の和に展開して表すことができる。<br> | ||
これを、aのまわり(x=aにおける)でのテイラー級数展開と呼ぶ。<br> | これを、aのまわり(x=aにおける)でのテイラー級数展開と呼ぶ。<br> | ||