テイラー級数展開

概要

テイラー級数展開とは、そのままでは扱いにくい関数を、級数の形に近似することである。

例えば、ある点aにおける関数f(x)の振る舞いについてはよく知っているとする。
aにおける関数の値、関数のグラフの傾きの値、2階微分の値、3階微分の値など、それらの値をを使用して、
aからわずかに離れたx地点での関数の値f(x)を言い当てることができるか、というのがテーマである。

このような直接的ではない情報を、下式の右辺のように計算すれば、それができる。
xとaとの間のわずかな距離はx−aと表せるが、これは(1)式の右辺に(x−a)や(x−a)²や(x−a)³という形で出てきている。

テイラーの定理
$f(x)$ が $a\leq x\leq b$ において、$n$階微分可能な時

${\begin{aligned}f(x)&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}{\frac {d^{n}f(a)}{dx^{n}}}(x-a)^{n}\\&=f(a)+f'(a)(x-a)+{\frac {1}{2!}}f''(a)(x-a)^{2}+{\frac {1}{3!}}f'''(a)(x-a)^{3}+\cdots \end{aligned}}$

となる $b\,(a<b<x)$ が存在する。

このようにして、関数f(x)を無限級数の和に展開して表すことができる。
これを、aのまわり(x=aにおける)でのテイラー級数展開と呼ぶ。

更にかみ砕いて言うと、関数f(x)全体をxの多項式で近似することはできない場合でも、
ある値aの付近であれば関数f(x)はテイラー級数展開を使った多項式で近似できるということである。


もし、aとして0を選ぶ場合(原点のまわりでのテイラー級数展開)を、マクローリン級数展開と呼ぶ。
${\begin{aligned}f(x)&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}{\frac {d^{n}f(0)}{dx^{n}}}x^{n}\\&=f(0)+f'(0)x+{\frac {1}{2!}}f''(0)x^{2}+{\frac {1}{3!}}f'''(0)x^{3}+\cdots \end{aligned}}$

近似でよく利用される形

上式に繰り返し出てくる $(x-a)$ の部分は $a$ からの微妙なズレ具合を表している。

まず、通常のテイラー級数展開は、ある点aの周りで関数f(x)を展開する場合、次式のような形になる。
$f(x)=f(a)+{\dfrac {df(a)}{dx}}(x-a)+{\dfrac {1}{2!}}{\dfrac {d^{2}f(a)}{dx^{2}}}(x-a)^{2}+{\dfrac {1}{3!}}{\dfrac {d^{3}f(a)}{dx^{3}}}(x-a)^{3}+\cdots$

一方、$f(x+h)$ の展開を考える場合、xを基準点として考えている。
つまり、この場合は、展開の中心点が $a=x$、展開する変数が $x+h$ となる。

$f(x+h)=f(x)+{\dfrac {df(x)}{dx}}((x+h)-x)+{\dfrac {1}{2!}}{\dfrac {d^{2}f(a)}{dx^{2}}}((x+h)-x)^{2}+{\frac {1}{3!}}{\dfrac {d^{3}f(a)}{dx^{3}}}((x+h)-x)^{3}+\cdots$

ここで、$((x+h)-x)$ を簡略化すると、$(x+h)-x=h$ となる。

したがって、展開式は次式となる。
$f(x+h)=f(x)+{\dfrac {df(x)}{dx}}\,h+{\frac {1}{2!}}{\dfrac {d^{2}f(a)}{dx^{2}}}\,h^{2}+{\frac {1}{3!}}{\dfrac {d^{3}f(a)}{dx^{3}}}\,h^{3}+\cdots$

このように、$(x-a)$ の項がhのみとなる理由を以下に示す。

• 展開の中心点をxとしている。
• 展開する点が $(x+h)$ である。
• これらの差分を取るとhになる。

この上式は、数値計算において、導関数の数値近似を考える場合によく使用されている。

マクローリン級数展開の意味 （近似との関係）

$e^{x},$、$\sin {x}$、$\cos {x}$、$\log {(1+x)}$ 等のマクローリン級数展開は、不明な関数を整関数として考えることができる。

この無限級数において、途中で打ち切り有限個とする場合、次式のように考えることができる。

$e^{x}=1+x+{\frac {1}{2}}x^{2}+{\frac {1}{6}}x^{3}+\cdots$
$e^{x}\cong 1+x$
$e^{x}\cong 1+x+{\frac {1}{2}}x^{2}$

上記のような操作を近似と呼ぶ。
ただし、これは正確な値に近づける操作に過ぎないため、$=$ で等式化することができない。

具体例

指数関数や三角関数をマクローリン級数展開すると次のようになる。 これらの関数が単純な和で表現できるのは、これらの収束半径は無限大だからである。つまり、xの値にかかわらず、常に成り立つ関係である。
$e^{x}=1+x+{\frac {1}{2!}}x^{2}+{\frac {1}{3!}}x^{3}+\cdots$
$\sin x={\frac {1}{1!}}x-{\frac {1}{3!}}x^{3}+{\frac {1}{5!}}x^{5}+\cdots$
$\cos x={\frac {1}{0!}}-{\frac {1}{2!}}x^{2}+{\frac {1}{4!}}x^{4}+\cdots$

指数関数の逆関数である対数関数において、logxに0を代入することはできないので、原点を少しずらして、次のような関数ならば0の周りで展開できる。
$\log(x+1)={\frac {1}{1!}}x-{\frac {1}{2!}}x^{2}+{\frac {1}{3!}}x^{3}-{\frac {1}{4!}}x^{4}+{\frac {1}{5!}}x^{5}-\cdots$

多変数関数のテイラー級数展開

多変数関数についても似たような定理が成り立っている。
まず、2変数関数f(x,y)のテイラー級数展開は次のようになる。
${\begin{aligned}f(x+a,y+b)&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}(a{\frac {\partial }{\partial x}}+b{\frac {\partial }{\partial y}})^{n}f(x,y)\\&=f(x,y)\\&+(a{\frac {\partial }{\partial x}}+b{\frac {\partial }{\partial y}})f(x,y)\\&+{\frac {1}{2!}}(a{\frac {\partial }{\partial x}}+b{\frac {\partial }{\partial y}})^{2}f(x,y)\\&+{\frac {1}{3!}}(a{\frac {\partial }{\partial x}}+b{\frac {\partial }{\partial y}})^{3}f(x,y)\end{aligned}}$

次に、3変数関数f(x,y,z)の場合も同様の関係が成り立っており、次のようになる。
$f(x+a,y+b,z+c)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}(a{\frac {\partial }{\partial x}}+b{\frac {\partial }{\partial y}}+c{\frac {\partial }{\partial z}})^{n}f(x,y)$