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「応用数学 - 定数係数2階線形常微分方程式」の版間の差分
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→定数係数2階線形常微分方程式 (同時方程式)の例題
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== 定数係数2階線形常微分方程式 ( | == 定数係数2階線形常微分方程式 (同次方程式)の例題 == | ||
例題 1 ： | 例題 1 ： | ||
以下の微分方程式の一般解を求めよ。 | 以下の微分方程式の一般解を求めよ。 | ||
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よって、一般解は次式となる。<br> | よって、一般解は次式となる。<br> | ||
<math>y = C_1 e^{2x} + C_2 e^{3x} \quad (C_1, \, C_2 : \mbox{ 任 意 定 数 })</math><br> | <math>y = C_1 e^{2x} + C_2 e^{3x} \quad (C_1, \, C_2 : \mbox{ 任 意 定 数 })</math><br> | ||
<br><br> | |||
== 定数係数2階線形常微分方程式 (非同次方程式) == | |||
定理 : | |||
定数係数2階線形微分方程式 (非同次方程式) <math>\frac{d^2 y}{dx^2} + a \frac{dy}{dx} + by = g(x)</math> の一般解yは、次式で求めることができる。 | |||
<math>y = \mbox{ 同 次 方 程 式 の 一 般 解 } + \mbox{ 非 同 次 方 程 式 の 特 殊 解 }</math> | |||
<br> | |||
定数係数2階線形常微分方程式(非同次方程式)の特殊解の求め方として、以下の3つがある。<br> | |||
(1) 定数変化法（variation of constants）<br> | |||
(2) 未定係数法（method of undetermined coefficients）<br> | |||
(3) 記号法（symbolic method）<br> | |||
<br><br> | |||
== 定数変化法 == | |||
以下の定理の証明を与える方法を定数変化法という。<br> | |||
<br> | |||
定理 : | |||
定数係数2階線形常微分微分方程式 <math>\frac{d^2 y}{dx^2} + a \frac{dy}{dx} + by = 0</math> の基本解を(y1, y2)とする時、 | |||
以下のv(x)は、定数係数2階線形常微分方程式 <math>\frac{d^2 y}{dx^2} + a \frac{dy}{dx} + by = g(x)</math> の特殊解である。 | |||
ここで、<math>W [y_1, \, y_2]</math> は、ロンスキー行列式であり、<math>\int</math> は原始関数を表す。 | |||
<math>v(x) = - y_1 \int{ \frac{y_2 \, g(x)}{W [ y1, \, y2 ]}} dx + y_2 \int{ \frac{y_1 \, g(x)}{W [ y_1, \, y_2 ]}} dx</math> | |||
<br> | |||
定数変化法では、g(x)が考察中の区間Iで連続であれば、どんな関数に対しても特殊解v(x)を求めることができる。<br> | |||
ただし、g(x)によっては、原始関数をよく知られた関数で表せない場合もある。<br> | |||
<br> | |||
定数変化法の例題1 : | |||
以下の微分方程式の特殊解v(x)を定数変化法で求め、一般解を求めよ。 | |||
<math>\frac{d^2 y}{dx^2} + 3 \frac{dy}{dx} + 2y = x</math> | |||
<br> | |||
同次方程式 <math>\frac{d^2 y}{dx^2} + 3 \frac{dy}{dx} + 2y = 0</math> の基本解は、<math>(e^{-2x}, \, e^{-x})</math>、<br> | |||
<br> | |||
一般解は、<math>y = C_1 e^{-2x} + C_2 e^{-x} \quad \cdots \quad (C_1,\, C_2 : \mbox{ 任 意 定 数 })</math><br> | |||
<br> | |||
<math>y_1 = e^{-2x}, \, y_2 = e^{-x}, \, g(x) = x</math> とおいて、定数変化法の公式を用いて特殊解v(x)を求める。<br> | |||
<br> | |||
<math> | |||
\begin{align} | |||
W [ y_1, \, y_2 ] &= | |||
\begin{vmatrix} | |||
e^{-2x} & e^{-x} \\ | |||
-2 e^{-2x} & -e^{-x} | |||
\end{vmatrix} \\ | |||
&= -e^{-3x} + 2e^{-3x} \\ | |||
&= e^{-3x} | |||
\end{align} | |||
</math><br> | |||
<br> | |||
<math> | |||
\begin{align} | |||
v(x) &= - y_1 \int{ \frac{y_2 \, g(x)}{W [ y1, \, y2 ]}} dx + y_2 \int{ \frac{y_1 \, g(x)}{W [ y_1, \, y_2 ]}} dx \\ | |||
&= -e^{-2x} \int{\frac{e^{-x} \, x}{e^{-3x}}} dx + e^{-x} \int{\frac{e^{-2x} \, x}{e^{-3x}}} dx \\ | |||
&= -e^{-2x} \int{x e^{2x}} dx + e^{-x} \int{x e^x} dx \\ | |||
&= -e^{-2x} \left ( \frac{1}{2} x e^{2x} - \frac{1}{2} \int{e^{2x}} \right ) dx + e^{-x} \left ( x e^x - \int{e^x} \right ) dx \\ | |||
&= - \frac{1}{2} x + \frac{1}{4} + x - 1 \\ | |||
&= \frac{1}{2} x - \frac{3}{4} \\ | |||
&= \frac{2x - 3}{4} | |||
\end{align} | |||
</math><br> | |||
<br> | |||
したがって、与式の一般解は次式となる。<br> | |||
<math>y = C_1 e^{-2x} + C_2 e^{-x} + \frac{2x - 3}{4}</math><br> | |||
<br><br> | <br><br> | ||
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[[カテゴリ:解析学]] | [[カテゴリ:解析学]] | ||