13,000
回編集
「応用数学 - 定数係数2階線形常微分方程式」の版間の差分
ナビゲーションに移動
検索に移動
→例題1 (3)の解答
| 182行目: | 182行目: | ||
<br> | <br> | ||
ゆえに、 <math>y = 2 e^x - e^{2x}</math> は、上式(1)の解である。<br> | ゆえに、 <math>y = 2 e^x - e^{2x}</math> は、上式(1)の解である。<br> | ||
<br><br> | |||
== 特性方程式 == | |||
<math>\frac{d^2 y}{dx^2} + a \frac{dy}{dx} + by = 0 \quad \cdots \quad (1)</math> に対して、以下をこの方程式の特性方程式（characteristic equation）という。<br> | |||
<br> | |||
<math>\lambda^2 + a \lambda + b = 0 \quad \cdots \quad (2)</math><br> | |||
<br> | |||
上式(2)の特性方程式の解λ1, λ2が分かれば、上式(1)の基本解y1, y2を求めることができる。<br> | |||
したがって、定数係数2階線形常微分方程式(同次方程式)の一般解を求めるには、特性方程式を解けばよいことになる。<br> | |||
<br> | |||
特性方程式 <math>\lambda^2 + a \lambda + b = 0</math> の解は、判別式 <math>D = a^2 - 4b</math> の値により以下の3種類が考えられる。<br> | |||
# <math>D > 0</math> のとき | |||
#: 相異なる2つの実数解をもつ。 | |||
#: <math>\lambda = \alpha, \, \beta</math> | |||
#: <br> | |||
# <math>D = 0</math> のとき | |||
#: 1つの実数解（重解）をもつ。 | |||
#: <math>\lambda = \alpha</math> | |||
#: <br> | |||
# <math>D < 0</math> のとき | |||
#: 共役な2つの複素数解をもつ。 | |||
#: <math>\lambda = p \pm q i</math> | |||
<br> | |||
定理 ： | |||
定数係数2階線形常微分方程式 <math>\frac{d^2 y}{dx^2} + a \frac{dy}{dx} + by = 0</math> の基本解と一般解は、特性方程式の解の種類により以下の3通り（1）（2）（3）で求められる。 | |||
(1) 実数解の場合 ： | |||
特性方程式： <math>\lambda^2 + a \lambda + b = 0</math> | |||
特性方程式の相異なる2つの実数解： <math>\lambda = \alpha, \, \beta</math> | |||
基本解： <math>(e^{\alpha x}, \, e^{\beta x})</math> | |||
一般解： <math>y = C_1 e^{\alpha x} + C_2 e^{\beta x} \quad (C_1, \, C_2 : \mbox{ 任 意 定 数 } )</math> | |||
(2) 実数重解の場合 ： | |||
特性方程式： <math>\lambda^2 + a \lambda + b = 0</math> | |||
特性方程式の1つの実数解（重解）： <math>\lambda = \alpha</math> | |||
基本解： <math>(e^{\alpha x}, \, x e^{\alpha x})</math> | |||
一般解： <math>\begin{align}y &= C_1 e^{\alpha x} + C_2 x e^{\alpha x} \\ &= (C_1 + C_2 x) e^{\alpha x} \quad (C_1, \, C_2 : \mbox{ 任 意 定 数 }) \end{align}</math> | |||
(3) 共役複素数解の場合 ： | |||
特性方程式： <math>\lambda^2 + a \lambda + b = 0</math> | |||
特性方程式の共役な2つの複素数解： <math>\lambda = p \pm qi</math> | |||
基本解： <math>(e^{px} \cos{qx}, \, e^{px} \sin{qx})</math> | |||
一般解： <math>\begin{align} y &= C_1 e^{px} \cos{qx} + C_2 e^{px} \sin{qx} \\ &= (C_1 \cos{qx} + C_2 \sin{qx}) e^{px} \quad (C_1, \, C_2 : \mbox{ 任 意 定 数 }) \end{align}</math> | |||
<br><br> | |||
== 定数係数2階線形常微分方程式 (同時方程式)の例題 == | |||
例題 1 ： | |||
以下の微分方程式の一般解を求めよ。 | |||
<math>\frac{d^2 y}{dx^2} - 5 \frac{dy}{dx} + 6y = 0</math> | |||
<br> | |||
解答 : <br> | |||
上式の特性方程式は、<math>\lambda^2 - 5 \lambda + 6 = 0</math> より、特性方程式の解は <math>\lambda = 2, \, 3</math> （2つの実数解）<br> | |||
したがって、基本解の組は <math>(e^{2x}, \, e^{3x})</math> である。<br> | |||
<br> | |||
よって、一般解は次式となる。<br> | |||
<math>y = C_1 e^{2x} + C_2 e^{3x} \quad (C_1, \, C_2 : \mbox{ 任 意 定 数 })</math><br> | |||
<br><br> | <br><br> | ||
__FORCETOC__ | __FORCETOC__ | ||
[[カテゴリ:解析学]] | [[カテゴリ:解析学]] | ||