13,000
回編集
「応用数学 - 定数係数2階線形常微分方程式」の版間の差分
ナビゲーションに移動
検索に移動
→解関数の線形独立性
| 90行目: | 90行目: | ||
(1) <math>y_1, \, y_2 \mbox{ が 線 形 独 立 } \iff W[y_1, \, y_2] \ne 0</math><br> | (1) <math>y_1, \, y_2 \mbox{ が 線 形 独 立 } \iff W[y_1, \, y_2] \ne 0</math><br> | ||
(2) <math>y_1, \, y_2 \mbox{ が 線 形 従 属 } \iff W[y_1, \, y_2] = 0</math><br> | (2) <math>y_1, \, y_2 \mbox{ が 線 形 従 属 } \iff W[y_1, \, y_2] = 0</math><br> | ||
<br><br> | |||
== 同次方程式の解 == | |||
定理5 ： | |||
集合Vを定数係数2階線形常微分方程式 <math>\frac{d^2 y}{dx^2} + f_1(x) \frac{dy}{dx} + f_2(x) y = 0</math> の解全体の集合とする。 | |||
この時、線形独立な2つの関数 <math>y_1,\, y_2 \, \in \, V</math> が存在し、任意の関数 <math>y \, \in \, V</math> は、y1とy2の線形結合 <math>y = C_1 y_1 + C_2 y_2 \quad (C_1, \, C_2 : \mbox{ 実 数 } )</math>で、ただ1通りに表される。 | |||
<br> | |||
上記のような線形独立な解の組 (y1, y2) を基本解という。<br> | |||
基本解は、線形代数でいう基底ベクトルに対応する。<br> | |||
<br> | |||
定理の意味 ： | |||
基本解 y1, y2が見つかれば、他の全ての解（一般解）yもそれらを使って、以下のように表すことができる。 | |||
<math>y = C_1 y_1 + C_2 y_2 (C_1, C_2 : \mbox{ 実 数 } )</math> | |||
<br> | |||
基本解 (y1, y2) で全ての解関数yを表現できる。<br> | |||
<br><br> | |||
== 非同次方程式の解 == | |||
定理6 ： | |||
定数係数2階線形常微分方程式 (非同次方程式) <math>\frac{d^2y}{dx^2} + f_1(x) \frac{dy}{dx} + f_2(x) y = g(x) \quad \cdots \quad (1)</math> の1つの特殊解をvとする。 | |||
この時、上式(1)の解yは、定数係数2階線形常微分方程式 (同次方程式) <math>\frac{d^2y}{dx^2} + f_1(x) \frac{dy}{dx} + f_2(x) y = 0 \quad \cdots \quad (2)</math> の基本解 y1, y2を使用して、 | |||
次式のように記述できる。 | |||
<math>y = (C_1 y_1 + C_2 y_2) + v \quad (C_1, C_2 : \mbox{ 実 数 } )</math> | |||
<br><br> | <br><br> | ||
__FORCETOC__ | __FORCETOC__ | ||
[[カテゴリ:解析学]] | [[カテゴリ:解析学]] | ||