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「応用数学 - 1階常微分方程式」の版間の差分
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→ベルヌーイ形微分方程式の例題
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ゆえに、<math>y^3 = \frac{1}{1 + C e^{3x^2}} \qquad \mbox{( C : 任 意 の 定 数 )}</math> | ゆえに、<math>y^3 = \frac{1}{1 + C e^{3x^2}} \qquad \mbox{( C : 任 意 の 定 数 )}</math> | ||
<math>y = 0</math> となる解は、<math>C = + \infty</math> の場合に対応する。 | <math>y = 0</math> となる解は、<math>C = + \infty</math> の場合に対応する。 | ||
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例題2. | |||
次の微分方程式の一般解を求めよ。 | |||
<math>\frac{dy}{dx} + y \sin{x} = y^2 \sin{x}</math> | |||
解答. | |||
これはベルヌーイ形微分方程式である。 | |||
与式の両辺に、<math>-y^{-2}</math> を乗算すると、 | |||
<math>-y^{-2} \frac{dy}{dx} - y^{-1} \sin{x} = - \sin{x} \qquad \cdots (1)</math> | |||
この時、<math>u = y^{-1}</math> とおくと、<math>\frac{du}{dx} = -y^{-2} \frac{dy}{dx} \qquad \cdots (2)</math> である。 | |||
上式(2)を上式(1)へ代入する。 | |||
<math>\frac{du}{dx} - u \sin{x} = - \sin{x}</math> | |||
これは、1階線形微分方程式となるので、1階線形微分方程式の一般解の公式を適用する。 | |||
<math> | |||
\begin{align} | |||
u &= e^{\int{\sin{x} dx}} \left \{ - \int{\sin{x} e^{- \int{\sin{x} dx}} dx} + C \right \} \\ | |||
&= e^{- \cos{x}} \left \{ - \int{\sin{x} e^{\cos{x}} dx} + C \right \} \\ | |||
&= e^{- \cos{x}} (e^{\cos{x}} + C) \\ | |||
&= 1 + C e^{- \cos{x}} | |||
\end{align} | |||
</math> | |||
<math>u = y^{-1}</math> であるため、一般解は以下となる。 | |||
<math> | |||
\begin{align} | |||
y &= u^{-1} \\ | |||
&= \frac{1}{1 + C e^{- \cos{x}}} \qquad \mbox{( C : 任 意 の 定 数 ) } | |||
\end{align} | |||
</math> | |||
<br> | |||
例題3. | |||
次下の微分方程式の一般解を求めよ。 | |||
<math>\frac{dy}{dx} + 2x^{-1} y = -7x^2 y^{\frac{4}{3}}</math> | |||
解答. | |||
与式は、ベルヌーイ形微分方程式である。 | |||
両辺に、<math>- \frac{1}{3} y^{- \frac{4}{3}}</math> を乗算すると、 | |||
<math>- \frac{1}{3} y^{- \frac{4}{3}} \frac{dy}{dx} - \frac{2}{3x} y^{- \frac{1}{3}} = \frac{7}{3} x^2</math> | |||
<math>u = y^{- \frac{1}{3}}</math> とおく時、<math>\frac{du}{dx} - \frac{2}{3x} u = \frac{7}{3} x^2</math> | |||
これは1階線形微分方程式であるため、1階線形微分方程式の一般解の公式を適用すると、 | |||
<math> | |||
\begin{align} | |||
u &= e^{\int{\frac{2}{3x} dx}} \left \{ \int{\frac{7}{3} x^2 e^{- \int{\frac{2}{3x}dx}} dx} + C \right \} \\ | |||
&= x^{\frac{2}{3}} (x^{\frac{7}{3}} + C) \qquad \because e^{\frac{2}{3} \ln{x}} = = x^{\frac{2}{3}} \\ | |||
&= x^3 + C x^{\frac{2}{3}} | |||
\end{align} | |||
</math> | |||
したがって、一般解は以下となる。 | |||
<math>y^{- \frac{1}{3}} = x^3 + C x^{\frac{2}{3}} \qquad \mbox{ ( C : 任 意 の 定 数 ) }</math> | |||
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