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応用数学 - 1階常微分方程式 (ソースを閲覧)

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   ゆえに、一般解は次式となる。
   <math>x^2 + xy^2 + y^3 = C \qquad \mbox{( C : 任 意 の 定 数 )}</math>
+<br>
+ 例題2.
+ 次の微分方程式の一般解を求めよ。
+ <math>(2x + e^y) dx + (1 + x e^y) dy = 0</math>
+ 解答.
+ まず、<math>(2x + e^y) dx + (1 + x e^y) dy = 0</math> が完全微分方程式であることを確認する。
+ <math>\frac{\partial}{\partial y} (2x + e^y) = e^y, \quad \frac{\partial}{\partial x} (1 + x e^y) = ey</math>
+ となるため、与式は完全微分方程式である。
+ 完全微分方程式の一般解の公式を適用する。
+ <math>\int{(2x + e^y) dx} + \int{ \left \{ 1 + x e^y - \frac{\partial}{\partial y} \int{(2x + e^y) dx} \right \} dy}</math>
+ <math>\int{(2x + e^y) dx} + \int{ \left \{ 1 + x e^y - \int{e^y dx} \right \} dy}</math>
+ <math>= x^2 + x e^y + \int{(1 + x e^y - x e^y) dy}</math>
+ <math>= x^2 + x e^y + \int{dy}</math>
+ <math>= x^2 + x e^y + y + C</math>
+ したがって、一般解は以下となる。
+ <math>x^2 + x e^y + y = C \qquad \mbox{ ( C : 任 意 の 定 数 ) }</math>
 <br><br>
 __FORCETOC__
 [[カテゴリ:解析学]]