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「応用数学 - 1階常微分方程式」の版間の差分
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→1階線形微分方程式の例題
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一般解は次式となる。 | 一般解は次式となる。 | ||
<math>y = Ce^{-x^3} + \frac{5}{3} \qquad \mbox{( C : 任 意 の 定 数 )} \quad \because w = x^3</math> | <math>y = Ce^{-x^3} + \frac{5}{3} \qquad \mbox{( C : 任 意 の 定 数 )} \quad \because w = x^3</math> | ||
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例題3. | |||
次の微分方程式の一般解を求めよ。 | |||
<math>\frac{dy}{dx} - \frac{y}{x} = 2 \ln{x}</math> | |||
解答. | |||
<math>\frac{dy}{dx} - \frac{y}{x} = 2 \ln{x}</math> は、1階線形微分方程式である。 | |||
1階線形微分方程式の一般解の公式を適用する。 | |||
<math> | |||
\begin{align} | |||
y &= e^{- \int{- \frac{1}{x} dx}} \left \{ \int{2 e^{\int{- \frac{1}{x} dx}}} \, \ln{x} + C\right \} \\ | |||
&= e^{\ln{x}} \left \{ \int{2 e^{\ln{x}} \frac{1}{x} dx} + C \right \} \\ | |||
&= x \left \{ \int{2 \ln{x} \frac{1}{x} dx} + C \right \} \qquad \because e^{\ln{x}} = x \\ | |||
\end{align} | |||
</math> | |||
合成関数の微分公式より、以下の式が成立する。 | |||
<math>\frac{d}{dx} (\ln{x})^2 = 2 \ln{x} \frac{d}{dx} \ln{x} = 2 \ln{x} \frac{1}{x}</math> | |||
したがって、一般解は以下となる。 | |||
<math>y = x {(\ln{x})^2 + C} \qquad \mbox{( C : 任 意 の 定 数 )}</math> | |||
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