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「応用数学 - 1階常微分方程式」の版間の差分
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→1階線形微分方程式の例題
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ゆえに、一般解は次式となる。 | ゆえに、一般解は次式となる。 | ||
<math>y = x + \frac{C}{x} \qquad \mbox{( C : 任 意 の 定 数 )}</math> | <math>y = x + \frac{C}{x} \qquad \mbox{( C : 任 意 の 定 数 )}</math> | ||
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例題2. | |||
次の微分方程式の一般解を求めよ。 | |||
<math>\frac{dy}{dx} + 3x^2 y = 5x^2</math> | |||
解答. | |||
<math>f(x) = 3x^2, \quad g(x) = 5x^2</math> として、1階線形微分方程式の一般解の公式に代入する。 | |||
この時、<math>z = 3x^2, \quad w = x^3</math> とする。 | |||
<math> | |||
\begin{align} | |||
y &= e^{- \int{z dx}} \left \{ \int{5x^2 e^{\int{z dx}} dx + C } \right \} \\ | |||
&= e^{-w} \left \{ \int{5x^2 e^w dx} + C \right \} | |||
\end{align} | |||
</math> | |||
<math>\frac{5}{3} e^w</math> をxで微分すると、合成関数の微分公式より、 | |||
<math> | |||
\begin{align} | |||
\frac{d}{dx} \left ( \frac{5}{3} e^w \right ) &= \frac{d}{dw} \left ( \frac{5}{3} e^w \right ) \frac{dw}{dx} \\ | |||
&= \frac{5}{3} e^w \frac{d}{dx} x^3 \\ | |||
&= \frac{5}{3} e^w 3x^2 \\ | |||
&= 5x^2 e^w | |||
\end{align} | |||
</math> | |||
よって、 <math>\int{5x^2 e^w dx} = \frac{5}{3} e^w</math> が成立する。 | |||
したがって、<math>y = e^{-w} \left \{ \frac{5}{3} e^w + C \right \} = Ce^{-w} + \frac{5}{3}</math> | |||
一般解は次式となる。 | |||
<math>y = Ce^{-x^3} + \frac{5}{3} \qquad \mbox{( C : 任 意 の 定 数 )} \quad \because w = x^3</math> | |||
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