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「応用数学 - 1階常微分方程式」の版間の差分
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→同次形微分方程式
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== 同次形微分方程式 == | == 同次形微分方程式 == | ||
==== 同次形微分方程式とは ==== | |||
<math>\frac{dy}{dx}</math> が <math>\frac{y}{x}</math> のみの関数になっている微分方程式を、同次形微分方程式という。<br> | <math>\frac{dy}{dx}</math> が <math>\frac{y}{x}</math> のみの関数になっている微分方程式を、同次形微分方程式という。<br> | ||
<math>\frac{dy}{dx} = f \left ( \frac{y}{x} \right )</math><br> | <math>\frac{dy}{dx} = f \left ( \frac{y}{x} \right )</math><br> | ||
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* <math>\frac{dy}{dx} = \frac{(x + y)}{(x - y)} \quad \Rightarrow</math> 分母分子をxで除算すると、<math>\frac{dy}{dx} = \frac{1 + \frac{y}{x}}{1 - \frac{y}{x}}</math> と記述できるため、同次形微分方程式である。 | * <math>\frac{dy}{dx} = \frac{(x + y)}{(x - y)} \quad \Rightarrow</math> 分母分子をxで除算すると、<math>\frac{dy}{dx} = \frac{1 + \frac{y}{x}}{1 - \frac{y}{x}}</math> と記述できるため、同次形微分方程式である。 | ||
<br> | <br> | ||
==== 同次形微分方程式の例題 ==== | |||
例題1. | |||
微分方程式の一般解を求めよ。 | 微分方程式の一般解を求めよ。 | ||
<math>\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} + 1</math> | <math>\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} + 1</math> | ||
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したがって、一般解は、 | したがって、一般解は、 | ||
<math>y = x(\ln(|x|) + C) \qquad \mbox{( C : 任 意 定 数 )}</math> | <math>y = x(\ln(|x|) + C) \qquad \mbox{( C : 任 意 定 数 )}</math> | ||
<br> | |||
例題2. | |||
次の微分方程式の一般解を求めよ。 | |||
<math>\frac{dy}{dx} = \frac{x + y}{x - y}</math> | |||
解答. | |||
<math>\frac{dy}{dx} = \frac{x + y}{x - y}</math> は、次のように記述できるため、同次形微分方程式である。 | |||
<math>\frac{dy}{dx} = \frac{1 + \frac{y}{x}}{1 - \frac{y}{x}} \cdots (1)</math> | |||
ここで、<math>u = \frac{y}{x} \cdots (2)</math> すなわち <math>y = xu</math> とおくと、 | |||
<math>\frac{dy}{dx} = u + x \frac{du}{dx} \cdots (3)</math> | |||
上式(2)(3)を上式(1)へ代入すると、 | |||
<math>u + x \frac{du}{dx} = \frac{1 + u}{1 - u}</math> | |||
したがって、<math>\frac{du}{dx} = \frac{1}{x} \frac{1 + u^2}{1 - u} \cdots (4)</math> | |||
これは変数分離形である。 | |||
上式84)を変数分離して積分すると、次式となる。 | |||
<math>\int{\frac{1 - u}{1 + u^2} du} = \int{\frac{1}{x}} dx</math> | |||
<math>\int{ \left \{ \frac{1}{1 + u^2} - \frac{1}{2} \frac{2u}{1 + u^2} \right \} du} = \int{\frac{1}{x} dx}</math> | |||
したがって、<math>\tan^{-1}(u) - \frac{1}{2} \ln{(1 + u^2)} = \ln{x} + C</math> | |||
ここで、<math>u = \frac{y}{x}</math> を代入してx, yの式に戻す。 | |||
<math>\tan^{-1} \left ( \frac{y}{x} \right ) - \frac{1}{2} \ln{\left (1 + \frac{y^2}{x^2} \right) } = \ln{x} + C</math> | |||
ここで、<math>\frac{1}{2} \ln{ \left ( 1 + \frac{y^2}{x^2} \right ) }</math> は、対数の法則により、 | |||
<math>\frac{1}{2} \ln{ \left ( 1 + \frac{y^2}{x^2} \right ) }</math> | |||
<math>= \frac{1}{2} \ln{ \left ( \frac{x^2 + y^2}{x^2} \right ) }</math> | |||
<math>= \frac{1}{2} \left \{ \ln{(x^2 + y^2)} - \ln{x^2} \right \}</math> | |||
<math>= \frac{1}{2} \left \{ \ln{(x^2 + y^2)} - 2 \ln{x} \right \}</math> | |||
<math>= \frac{1}{2} \ln{(x^2 + y^2)} - \ln{x}</math> | |||
ゆえに、一般解は次式となる。 | |||
<math> | |||
\begin{array}{lcl} | |||
\tan^{-1} \left ( \frac{y}{x} \right ) - \frac{1}{2} \ln{(x^2 + y^2)} + \ln{x} &=& \ln{x} + C \\ | |||
\implies \tan^{-1} \left ( \frac{y}{x} \right ) - \frac{1}{2} \ln(x^2 + y^2) &=& C \qquad \mbox{( C : 任 意 の 定 数 )} | |||
\end{array} | |||
</math> | |||
<br><br> | <br><br> | ||