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「応用数学 - 1階常微分方程式」の版間の差分
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→完全微分方程式
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完全微分方程式は、<math>dP = 0</math> と記述できるため、完全微分方程式の一般解は、次式のようになる。<br> | 完全微分方程式は、<math>dP = 0</math> と記述できるため、完全微分方程式の一般解は、次式のようになる。<br> | ||
<math>P(x, y) = C \qquad \mbox{( C : 任 意 の 定 数 )}</math><br> | <math>P(x, y) = C \qquad \mbox{( C : 任 意 の 定 数 )}</math><br> | ||
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==== 完全微分方程式の定理と判定 ==== | |||
<math>f(x, y) dx + g(x, y)dy = 0</math> が完全微分方程式である。<br> | |||
<math>f(x, y) dx + g(x, y)dy = 0 \iff \frac{\partial f}{\partial y} = \frac{\partial g}{\partial x}</math> | |||
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完全微分方程式の一般解の公式(定理) | |||
完全微分方程式 <math>f(x, y) dx + g(x, y) dy = 0</math> の一般解は、次式で表される。 | |||
<math>\int{f(x, y) dx} + \int{ \left ( g(x, y) - \frac{\partial}{\partial y} \int{f(x, y) dx} \right ) } dy = C</math> | |||
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完全微分方程式の例<br> | |||
* <math>3x^2 y^4 dx + 4x^3 y^3 dy = 0</math> | |||
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理由<br> | |||
<math>P(x, y) = x^3 y^4</math> の時、<math>P_x(x, y) = 3x^2 y^4 = f(x, y), \quad P_y(x, y) = 4x^3 y^3 = g(x, y)</math> である。<br> | |||
さらに、以下の判定条件により、<math>\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{\partial g}{\partial x}</math> が成立するため、完全微分方程式である。<br> | |||
* 判定条件 | |||
*: <math>\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} (3x^2 y^4) = 12x^2 y^3</math> | |||
*: <math>\frac{\partial g}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} (4x^3 y^3) = 12x^2 y^3</math> | |||
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==== 完全微分方程式の例題 ==== | |||
例題1. | |||
次の微分方程式が完全微分方程式であることを確かめよ。 | |||
また、この微分方程式の一般解を求めよ。 | |||
<math>(2x + y^2) dx + (2xy + 3y^2) dy = 0</math> | |||
解答. | |||
<math>f(x, y) = 2x + y^2, \quad g(x, y) = 2xy + 3y^2</math> とおく時、<math>\frac{\partial f}{\partial y} = 2y, \quad \frac{\partial g}{\partial x} = 2y</math> であり、 | |||
<math>\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{\partial g}{\partial x}</math> が成立する。 | |||
判定条件が成立したので、完全微分方程式である。 | |||
完全微分方程式の一般解の公式より、以下が成立する。 | |||
<math>\int{(2x + y^2) dx} + \int{ \left \{ 2xy + 3y^2 - \frac{\partial}{\partial y} \int{(2x + y^2) dx} \right \} dy}</math> | |||
<math>= x^2 + xy^2 + \int{ \left \{ 2xy + 3y^2 - \frac{\partial}{\partial y} (x^2 + xy^2) \right \} dy}</math> | |||
<math>= x^2 + xy^2 + \int{3y^2 dy}</math> | |||
<math>= x^2 + xy^2 + y^3</math> | |||
ゆえに、一般解は次式となる。 | |||
<math>x^2 + xy^2 + y^3 = C \qquad \mbox{( C : 任 意 の 定 数 )}</math> | |||
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