「線積分」の版間の差分

線積分 (ソースを閲覧)

2022年1月19日 (水) 14:25時点における版

6,182 バイト追加、 2022年1月19日 (水)

→‎例題. 2

Wiki

ビューロクラット、インターフェース管理者、管理者

13,009

回編集

@@ 190行目: / 190行目: @@
 ==== 例題. 2 ====
-  ベクトル場<math>\overrightarrow{F} = a(\sin t \overrightarrow{i} + \cos t \overrightarrow{j})</math>(aは正の定数)において、
+  ベクトル場<math>\vec{F} = a(\sin t \vec{i} + \cos t \vec{j})</math>(aは正の定数)において、
-  経路Cを<math>C: \overrightarrow{r} = \cos t \overrightarrow{i} + \sin t \overrightarrow{j} + bt \overrightarrow{k} \quad \Big(0 \le t \le \frac{\pi}{4} \Big)</math>)とする時、
+  経路Cを<math>C: \vec{r} = \cos t \vec{i} + \sin t \vec{j} + bt \vec{k} \quad \Big( 0 \le t \le \frac{\pi}{4} \Big)</math>)とする時、
-  線積分<math>\int_C \overrightarrow{F} \cdot d \overrightarrow{r}</math>を求めよ。
+  線積分<math>\int_C \vec{F} \cdot d \vec{r}</math>を求めよ。
 <br>
-<math>\overrightarrow{r} = \cos t \overrightarrow{i} + \sin t \overrightarrow{j} + bt \overrightarrow{k}</math>をtで微分すると、<br>
+<math>\vec{r} = \cos t \vec{i} + \sin t \vec{j} + bt \vec{k}</math>をtで微分すると、<br>
-<math>\frac{d \overrightarrow{r}}{dt} = - \sin t \overrightarrow{i} + \cos t \overrightarrow{j} + b \overrightarrow{k}</math>となり、<br>
+<math>\frac{\vec{dr}}{dt} = - \sin t \vec{i} + \cos t \vec{j} + b \vec{k}</math>となり、<br>
-<math>d \overrightarrow{r} = (-\sin t \overrightarrow{i} + \cos t \overrightarrow{j} + b \overrightarrow{k}) dt</math>である。<br>
+<math>\vec{dr} = (-\sin t \vec{i} + \cos t \vec{j} + b \vec{k}) dt</math>である。<br>
 <br>
-<math>d \overrightarrow{r}</math>を成分表示すると、<math>d\overrightarrow{r} = \begin{pmatrix} -\sin t \\ \cos t \\ b \end{pmatrix} dt</math>となる。<br>
+<math>\vec{dr}</math>を成分表示すると、<math>\vec{dr} = \begin{pmatrix} -\sin t \\ \cos t \\ b \end{pmatrix} dt</math>となる。<br>
-また、<math>\overrightarrow{F}</math>を成分表示すると、<math>\overrightarrow{F} = \begin{pmatrix} a \cos t \\ a \cos t \\ 0 \end{pmatrix}</math>である。<br>
+また、<math>\vec{F}</math>を成分表示すると、<math>\vec{F} = \begin{pmatrix} a \cos t \\ a \cos t \\ 0 \end{pmatrix}</math>である。<br>
 <br>
 内積はx成分、y成分、z成分それぞれ乗算した後に加算して求めるため、以下のように計算できる。<br>
 <math>
 \begin{align}
-\overrightarrow{F} \cdot d \overrightarrow{r} &= \begin{pmatrix} a \sin t \\ a \cos t \\ 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} - \sin t \\ \cos t \\ b \end{pmatrix} dt \\
+\vec{F} \cdot d \vec{r} &= \begin{pmatrix} a \sin t \\ a \cos t \\ 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} - \sin t \\ \cos t \\ b \end{pmatrix} dt \\
 &= a (- \sin^2 t + \cos^2 t) dt \\
 &= a \cos 2t \qquad \because \cos{2 \theta} = \cos^2{\theta} - \sin^2{\theta}
@@ 212行目: / 212行目: @@
 <math>
 \begin{align}
-\int_C \overrightarrow{F} \cdot d \overrightarrow{r} &= \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} a \cos 2t dt \\
+\int_C \vec{F} \cdot \vec{dr} &= \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} a \cos 2t dt \\
-&= \Big[ \frac{a \sin2t}{2}\Big]_0^{\frac{\pi}{4}} \\
+&= \Big[ \frac{a \sin2t}{2} \Big]_0^{\frac{\pi}{4}} \\
 &= \frac{a}{2} \Big\{ \sin(2 \times \frac{\pi}{4}) - \sin 0 \Big\} \\
 &= \frac{a}{2} (1 - 0) \\
 &= \frac{a}{2}
+\end{align}
+</math><br>
+<br>
+==== 例題. 3 ====
+ aを定数として、<math>\vec{F} = \langle -ay, ax, 0 \rangle</math>というベクトル場を考える。
+ この時、次の問を求めよ。
+ (1) 下図左のように、点A ： (1, 0, 0)、点B ： (1, 1, 0)、点C ： (0, 1, 0)の3点をつないだ閉曲線cを考える。
+     この閉曲線Cに沿った<math>\vec{F}</math>の線積分を求めよ。
+     ただし、線積分の向きは、下図左の矢印の方向(反時計方向)を正にとる。
+ (2) 下図右のように、点A ： (1, 0, 0)から点C ： (0, 1, 0)まで、原点Oを中心とする半径1の円の円周に沿って曲線ℓを引く。
+     この曲線lに沿った<math>\vec{F}</math>の線積分を求めよ。
+     ただし、線積分の向きは、下図右の矢印の方向(反時計方向)を正にとる。
+ [[ファイル:Line Integral 3.png|フレームなし|中央]]
+<br>
+(1)の求め方<br>
+経路C上の位置ベクトル<math>\vec{r}</math>を1つの変数で表す。<br>
+経路Cは3本の線分から構成されているため、各線分の線積分を計算して加算する。<br>
+<br>
+(i) 線分AB上での線積分<br>
+線分AB上の位置ベクトルを<math>\vec{r_1}</math>とする時、<math>x = 1, y = t</math>とおくと、<math>\vec{r_1} = \langle 1, t, 0 \rangle</math>となる。<br>
+<math>\frac{\vec{dr_1}}{dt} = \langle 0, 1, 0 \rangle = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}</math>より、線素ベクトル<math>\vec{dr_1}</math>は、<math>\vec{dr_1} = \langle 0, 1, 0 \rangle dt = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} dt</math>となる。<br>
+<br>
+さらに、ベクトル場<math>\vec{F}</math>に位置ベクトル<math>\vec{r_1}</math>を適用(<math>x = 1, y = t</math>を代入)すると、<math>\vec{F} = \langle -at, a, 0 \rangle = \begin{pmatrix} -at \\ a \\ 0 \end{pmatrix}</math>となる。<br>
+よって、経路ABの矢印の向きを考慮すると、積分範囲は<math>t:0 \rightarrow 1</math>となるため、線分AB上での線積分は次式となる。<br>
+<math>
+\begin{align}
+\int_{AB} \vec{F} \cdot \vec{dr_1} &= \int_{0}^{1} \langle -at, a, 0 \rangle \cdot \langle 0, 1, 0 \rangle \\
+&= a \int_{0}^{1}dt \\
+&= a
+\end{align}
+</math><br>
+<br>
+(ii) 線分BC上での線積分<br>
+線分BC上の位置ベクトルを<math>\vec{r_2}</math>とする時、<math>x = t, y = 1</math>とおくと、<math>\vec{r_2} = \langle t, 1, 0 \rangle</math>となる。<br>
+<math>\frac{\vec{dr_2}}{dt} = \langle 1, 0, 0 \rangle = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}</math>より、線素ベクトル<math>\vec{dr_2}</math>は、<math>\vec{dr_2} = \langle 1, 0, 0 \rangle dt = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} dt</math>となる。<br>
+<br>
+さらに、ベクトル場<math>\vec{F}</math>に位置ベクトル<math>\vec{r_2}</math>を適用(<math>x = t, y = 1</math>を代入)すると、<math>\vec{F} = \langle -a, at, 0 \rangle = \begin{pmatrix} -a \\ at \\ 0 \end{pmatrix}</math>となる。<br>
+よって、経路BCの矢印の向きを考慮すると、積分範囲は<math>t:1 \rightarrow 0</math>となるため、線分BC上での線積分は次式となる。<br>
+<math>
+\begin{align}
+\int_{BC} \vec{F} \cdot \vec{dr_2} &= \int_{1}^{0} \langle -a, at, 0 \rangle \cdot \langle 1, 0, 0 \rangle \\
+&= -a \int_{1}^{0}dt \\
+&= a
+\end{align}
+</math><br>
+<br>
+(iii) 線分CA上での線積分<br>
+線分CA上の位置ベクトルを<math>\vec{r_3}</math>とする時、<math>x = t, y = -t + 1</math>とおくと、<math>\vec{r_3} = \langle t, -t + 1, 0 \rangle</math>となる。<br>
+<math>\frac{\vec{dr_3}}{dt} = \langle 1, -1, 0 \rangle = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}</math>より、線素ベクトル<math>\vec{dr_3}</math>は、<math>\vec{dr_3} = \langle 1, -1, 0 \rangle dt = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} dt</math>となる。<br>
+<br>
+さらに、ベクトル場<math>\vec{F}</math>に位置ベクトル<math>\vec{r_3}</math>を適用(<math>x = t, y = -t + 1</math>を代入)すると、<math>\vec{F} = \langle at -a, at, 0 \rangle = \begin{pmatrix} at - a \\ at \\ 0 \end{pmatrix}</math>となる。<br>
+よって、経路CAの矢印の向きを考慮すると、積分範囲は<math>t:0 \rightarrow 1</math>となるため、線分CA上での線積分は次式となる。<br>
+<math>
+\begin{align}
+\int_{CA} \vec{F} \cdot \vec{dr_3} &= \int_{0}^{1} \langle at - a, at, 0 \rangle \cdot \langle 1, -1, 0 \rangle \\
+&= \int_{0}^{1} (at - a - at) dt \\
+&= \int_{0}^{1} -a dt \\
+&= -a \int_{0}^{1} dt \\
+&= -a \Big[ t \Big]_{0}^{1} \\
+&= -a
+\end{align}
+</math><br>
+<br>
+したがって、<math>\int_{C} \vec{F} \cdot \vec{dr} = \int_{AB} \vec{F} \cdot \vec{dr_1} + \int_{BC} \vec{F} \cdot \vec{dr_2} + \int_{CA} \vec{F} \cdot \vec{dr_3} = a + a - a = a</math>となる。<br>
+<br>
+(2)の求め方<br>
+経路lは原点Oを中心とする半径1の円である。<br>
+経路l上の位置ベクトルを<math>\vec{r}</math>とする時、極座標表示を用いて<math>x = cos \theta, y = \sin \theta</math>とおくと、<math>\vec{r} = \langle \cos \theta, \sin \theta, 0 \rangle</math>となる。<br>
+<math>\frac{\vec{dr}}{dt} = \langle - \sin \theta, \cos \theta, 0 \rangle = \begin{pmatrix} - \sin \theta \\ \cos \theta \\ 0 \end{pmatrix}</math>より、線素ベクトル<math>\vec{dr}</math>は、<math>\vec{dr} = \langle - \sin \theta, \cos \theta, 0 \rangle dt = \begin{pmatrix} - \sin \theta \\ \cos \theta \\ 0 \end{pmatrix} dt</math>となる。<br>
+<br>
+さらに、ベクトル場<math>\vec{F}</math>に位置ベクトル<math>\vec{r}</math>を適用(<math>x = \cos \theta, y = \sin \theta</math>を代入)すると、<math>\vec{F} = \langle -a \sin \theta, a \cos \theta, 0 \rangle = \begin{pmatrix} -a \sin \theta \\ a \cos \theta \\ 0 \end{pmatrix}</math>となる。<br>
+よって、経路lの矢印の向きを考慮すると、積分範囲は<math>t:0 \rightarrow \frac{\pi}{2}</math>となるため、経路l上での線積分は次式となる。<br>
+<math>
+\begin{align}
+\int_{l} \vec{F} \cdot \vec{dr} &= \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \langle -a \sin \theta, a \cos \theta, 0 \rangle \cdot \langle - \sin \theta, \cos \theta, 0 \rangle \\
+&= \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (a \sin^2 \theta + a \cos^2 \theta) dt \\
+&= a \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (\sin^2 \theta + \cos^2 \theta) dt \\
+&= a \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} dt \qquad \because \sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1 \\
+&= a \Big[ t \Big]_{0}^{\frac{\pi}{2}} \\
+&= \frac{a \pi}{2}
 \end{align}
 </math><br>

「線積分」の版間の差分

線積分 (ソースを閲覧)

2022年1月19日 (水) 14:25時点における版

案内メニュー

検索