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「線積分」の版間の差分
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→計算の基礎
(→計算の基礎) |
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<math>\Delta l=\sqrt{(x(t+ \Delta t)-x(t))^2+(y(t+ \Delta t)-y(t))^2}</math><br> | <math>\Delta l=\sqrt{(x(t+ \Delta t)-x(t))^2+(y(t+ \Delta t)-y(t))^2}</math><br> | ||
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また、ほぼ直線的に変化しているので、<math>x(t + \Delta t) - x(t) \mbox{は } \frac{dx}{dt}\Delta t, \quad y(t + \Delta t) - y(t) \mbox{は } \frac{dy}{dt}\Delta t</math>と近似できる。<br> | |||
<math>\Delta l=\sqrt{(\frac{dx}{dt}\Delta t)^2+(\frac{dy}{dt}\Delta t)^2}=\sqrt{(\frac{dx}{dt})^2+(\frac{dy}{dt})^2}\Delta t</math><br> | <math> | ||
\begin{align} | |||
\Delta l &= \sqrt{\left ( \frac{dx}{dt}\Delta t \right )^2 + \left ( \frac{dy}{dt}\Delta t \right )^2} \\ | |||
&= \sqrt{\left ( \frac{dx}{dt} \right )^2 + \left ( \frac{dy}{dt} \right )^2} \Delta t | |||
\end{align} | |||
</math><br> | |||
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ここで、Δtが無限に小さいと考えれば、次式のようになる。<br> | ここで、Δtが無限に小さいと考えれば、次式のようになる。<br> | ||
<math>dl=\sqrt{(\frac{dx}{dt})^2+(\frac{dy}{dt})^2}dt</math><br> | <math>dl = \sqrt{\left ( \frac{dx}{dt} \right )^2 + \left ( \frac{dy}{dt} \right )^2} dt</math><br> | ||
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dlが微小時間dtに点がコース上を進む微小距離である。(dtとは、1変数の関数f(x)を積分するときのdxに相当する部分である)<br> | |||
x(t)とy(t)が具体的に分かっていれば、tのみの関数として表される。 | x(t)とy(t)が具体的に分かっていれば、tのみの関数として表される。<br> | ||
この地点での<math>h(x, y)</math>の値は、tの時と<math>t + dt</math>の時とでほとんど同じ値なので、<math>h(x(t), y(t))</math>を使用する。<br> | |||
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次のようにすれば、線積分の計算ができる。<br> | 次のようにすれば、線積分の計算ができる。<br> | ||
<math>\int_{a}^{b}h(x(t),y(t))\sqrt{(\frac{dx}{dt})^2+(\frac{dy}{dt})^2} | <math>\int_{a}^{b} h(x(t), y(t))\sqrt{\left ( \frac{dx}{dt} \right )^2 + \left ( \frac{dy}{dt} \right )^2} dt</math><br> | ||
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==== 例題. 1 ==== | ==== 例題. 1 ==== | ||
経路Cが以下のC<sub>1</sub>、C<sub>2</sub>のそれぞれの場合、以下の線積分の値を求めよ。 | 経路Cが以下のC<sub>1</sub>、C<sub>2</sub>のそれぞれの場合、以下の線積分の値を求めよ。 | ||