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「テイラー級数展開」の版間の差分
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→近似でよく利用される形
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上式に繰り返し出てくる <math>(x - a)</math> の部分は <math>a</math> からの微妙なズレ具合を表している。<br> | 上式に繰り返し出てくる <math>(x - a)</math> の部分は <math>a</math> からの微妙なズレ具合を表している。<br> | ||
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まず、通常のテイラー級数展開は、ある点aの周りで関数f(x)を展開する場合、次式のような形になる。<br> | |||
<math>f(x) = f(a) + | <math>f(x) = f(a) + \dfrac{df(a)}{dx}(x - a) + \dfrac{1}{2!} \dfrac{d^{2} f(a)}{dx^{2}}(x - a)^{2} + \dfrac{1}{3!} \dfrac{d^{3} f(a)}{dx^{3}}(x-a)^{3} + \cdots</math><br> | ||
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一方、<math>f(x + h)</math> の展開を考える場合、xを基準点として考えている。<br> | |||
<math>f( | つまり、この場合は、展開の中心点が <math>a = x</math>、展開する変数が <math>x + h</math> となる。<br> | ||
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<math>f(x + h) = f(x) + \dfrac{df(x)}{dx} ((x + h) - x) + \dfrac{1}{2!} \dfrac{d^{2} f(a)}{dx^{2}} ((x + h) - x)^{2} + \frac{1}{3!} \dfrac{d^{3} f(a)}{dx^{3}} ((x + h) - x)^{3} + \cdots</math><br> | |||
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ここで、<math>((x + h) - x)</math> を簡略化すると、<math>(x + h) - x = h</math> となる。<br> | |||
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したがって、展開式は次式となる。<br> | |||
<math>f(x + h) = f(x) + \dfrac{df(x)}{dx} \, h + \frac{1}{2!} \dfrac{d^{2} f(a)}{dx^{2}} \, h^{2} + \frac{1}{3!} \dfrac{d^{3} f(a)}{dx^{3}} \, h^{3} + \cdots</math><br> | |||
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このように、<math>(x - a)</math> の項がhのみとなる理由を以下に示す。<br> | |||
* 展開の中心点をxとしている。 | |||
* 展開する点が <math>(x + h)</math> である。 | |||
* これらの差分を取るとhになる。 | |||
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この上式は、数値計算において、導関数の数値近似を考える場合によく使用されている。<br> | |||
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