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→線積分の計算方法
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== | == スカラー場の線積分の計算方法 == | ||
==== 計算の基礎 ==== | |||
xy平面上を走る曲線レールを細かく分割すると、その1つ1つはほぼ直線だとみなせる。<br> | xy平面上を走る曲線レールを細かく分割すると、その1つ1つはほぼ直線だとみなせる。<br> | ||
その微小な長さと、その近くでのh(x,y)の値とを掛け合わせたものを考えれば、それは衝立を微小な短冊状に切ったものの面積を表すことになる。<br> | その微小な長さと、その近くでのh(x,y)の値とを掛け合わせたものを考えれば、それは衝立を微小な短冊状に切ったものの面積を表すことになる。<br> | ||
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次のようにすれば、線積分の計算ができる。<br> | 次のようにすれば、線積分の計算ができる。<br> | ||
<math>\int_{a}^{b}h(x(t),y(t))\sqrt{(\frac{dx}{dt})^2+(\frac{dy}{dt})^2}\, dt</math><br> | <math>\int_{a}^{b}h(x(t),y(t))\sqrt{(\frac{dx}{dt})^2+(\frac{dy}{dt})^2}\, dt</math><br> | ||
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==== 例題. 1 ==== | |||
経路Cが以下のC<sub>1</sub>、C<sub>2</sub>のそれぞれの場合、以下の線積分の値を求めよ。 | |||
<math>\int_C (2x + y) dx + (x - y) dy</math> | |||
1. C1 : 点A(0, 0)から点B(1, 1)へ直線 <math>y = x</math> に沿う経路 | |||
2. C2 : 点A(0, 0)から点B(1, 1)へ放物線 <math>y = x^2</math> に沿う経路 | |||
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<math>\int_C (2x + y) dx + (x - y) dy = \int_C (2x + y) dx + \int_C (x - y) dy</math>である。<br> | |||
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1.では、<math>y = x</math>のため、第2項は<math>(x - y) = (x - x) = 0</math>となる。<br> | |||
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\begin{align} | |||
\int_C (2x + y) dx + (x - y) dy &= \int_C (2x + y) dx \\ | |||
&= \int_{0}^{1} 3x dx \\ | |||
&= 3 \Big[ \frac{x^2}{2} \Big]_{0}^{1} \\ | |||
&= \frac{3}{2} | |||
\end{align} | |||
</math><br> | |||
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2.では、<math>\frac{dy}{dx} = 2x \quad \mbox{よ り } \quad dy = 2x dx</math>である。<br> | |||
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\begin{align} | |||
\int_C (2x + y) dx + (x - y) dy &= \int_{0}^{1} (2x + x^2) dx + \int_{0}^{1} (x - x^2) 2x dx \\ | |||
&= \Big[ x^2 + \frac{x^3}{3} \Big]_{0}^{1} + 2 \Big[ \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} \Big]_{0}^{1} \\ | |||
&= \Big( 1 + \frac{1}{3} \Big) + 2 \Big( \frac{1}{3} - \frac{1}{4} \Big) \\ | |||
&= \frac{4}{3} + \frac{1}{6} \\ | |||
&= \frac{3}{2} | |||
\end{align} | |||
</math><br> | |||
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上記ではスカラー関数として考えてきたが、見方を変えてみる。<br> | |||
変位ベクトル<math>\overrightarrow{r} = \langle dx, dy \rangle</math>とベクトル場<math>\overrightarrow{F} = \langle 2x + y, x - y \rangle</math>を考える時、上記の線積分はベクトルの内積を用いて以下のように記述できる。<br> | |||
<math>\int_C (2x + y) dx + (x - y) dy = \int_C \overrightarrow{F} \cdot d\overrightarrow{r}</math><br> | |||
<math>\nabla \times \overrightarrow{F} = \overrightarrow{0}</math>(渦なし)の時、線積分は経路によらず始点と終点で決まる。<br> | |||
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上記の例では、<math>\frac{\partial}{\partial x} (x - y) - \frac{\partial}{\partial y} (2x + y) = 1 - 1 = 0</math>となり、渦なしの条件を満たしているため、<br> | |||
1.および2.の2通りの線積分において、同様の計算結果となる。<br> | |||
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