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「線積分」の版間の差分
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→例題.1
(→例題.1) |
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| 156行目: | 156行目: | ||
<br> | <br> | ||
上記のポイントを踏まえて、線積分を計算する。<br> | 上記のポイントを踏まえて、線積分を計算する。<br> | ||
ここで、ドット(⋅)は内積を表している。<br> | |||
<math> | <math> | ||
\begin{align} | \begin{align} | ||
| 162行目: | 163行目: | ||
\end{align} | \end{align} | ||
</math><br> | </math><br> | ||
ここで、<math>\overrightarrow{F}(x, y) = -3x^2 \overrightarrow{i} + 5xy \overrightarrow{j}</math>を成分表示すると、<math>\begin{pmatrix} -3x^2 \\ 5xy \end{pmatrix}</math>である。<br> | ここで、<math>\overrightarrow{F}(x, y) = -3x^2 \overrightarrow{i} + 5xy \overrightarrow{j}</math>を成分表示すると、<math>\begin{pmatrix} -3x^2 \\ 5xy \end{pmatrix}</math>である。<br> | ||
同様に、 <math>dx \overrightarrow{i} + dy \overrightarrow{j}</math>の成分表示は、<math>\begin{pmatrix} dx \\ dy \end{pmatrix}</math>である。<br> | 同様に、 <math>dx \overrightarrow{i} + dy \overrightarrow{j}</math>の成分表示は、<math>\begin{pmatrix} dx \\ dy \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 4t \end{pmatrix} dt</math>である。<br> | ||
<br> | <br> | ||
次に、xとyをパラメータt(ここでは、<math>x = t, \ y = 4t dt</math>を代入する) | 次に、xとyをパラメータt(ここでは、<math>x = t, \quad y = 4t^2, \quad dx = dt, \quad dy = 4t dt</math>を代入する)で記述する。<br> | ||
これが、経路Cを満たすように式変形するということである。<br> | |||
<math> | <math> | ||
\begin{align} | \begin{align} | ||
| 178行目: | 179行目: | ||
</math><br> | </math><br> | ||
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==== 例題. 2 ==== | ==== 例題. 2 ==== | ||
ベクトル場<math>\overrightarrow{F} = a(\sin t \overrightarrow{i} + \cos t \overrightarrow{j})</math>(aは正の定数)において、 | ベクトル場<math>\overrightarrow{F} = a(\sin t \overrightarrow{i} + \cos t \overrightarrow{j})</math>(aは正の定数)において、 | ||