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→ベクトル場の線積分の計算
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== ベクトル場の線積分の計算 == | == ベクトル場の線積分の計算 == | ||
==== 計算の基礎 ==== | |||
<math>\overrightarrow{F} = F_1(x,y,z) \overrightarrow{i} + F_2(x,y,z) \overrightarrow{j} + F_3(x,y,z) \overrightarrow{k}</math>のベクトル空間内の2点AからBを結ぶ曲線経路Cがある。<br> | <math>\overrightarrow{F} = F_1(x,y,z) \overrightarrow{i} + F_2(x,y,z) \overrightarrow{j} + F_3(x,y,z) \overrightarrow{k}</math>のベクトル空間内の2点AからBを結ぶ曲線経路Cがある。<br> | ||
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記述方法が複数あるが、重要なことは、曲線経路Cにおいてベクトル場の接線成分を積分するということである。<br> | 記述方法が複数あるが、重要なことは、曲線経路Cにおいてベクトル場の接線成分を積分するということである。<br> | ||
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==== 例題.1 ==== | |||
ベクトル関数<math>\overrightarrow{F}(x,y) = -3x^2 \overrightarrow{i} + 5xy \overrightarrow{j}</math>について、経路Cにおける以下の線積分を求めよ。<br> | |||
ただし、経路Cは放物線<math>y = 2x^2</math>の(0, 0)から(1, 2)に沿う曲線とする。 | |||
<math>\int_C \overrightarrow{F} \cdot d\overrightarrow{r}</math> | |||
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まず、経路Cをパラメータtで表示する。つまり、xやyをtの関数として記述する。<br> | |||
線積分を行う経路となる経路Cは放物線<math>y = 2x^2</math>の(0, 0)から(1, 2)である。<br> | |||
<math>t = x</math>とすると、<math>0 \le t \le 1</math>で<math>y = 2t^2</math>である。<br> | |||
「経路Cについて考える」ということは、「xとyが経路Cの方程式を満たす」ということである。<br> | |||
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したがって、xとyはtの関数として以下のように記述できる。<br> | |||
<math> | |||
\begin{align} | |||
x(t) &= t \quad (0 \le t \le 1) \\ | |||
y(t) &= 2t^2 | |||
\end{align} | |||
</math><br> | |||
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よって、xとyをtでそれぞれ微分すると以下のようになる。<br> | |||
<math> | |||
\begin{align} | |||
\frac{dx}{dt} &= 1 \quad \mbox{よ り } \quad dx = dt \\ | |||
\frac{dy}{dt} &= 4t \quad \mbox{よ り } \quad dy = 4t dt | |||
\end{align} | |||
</math><br> | |||
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式を変形するときのポイントは、<math>d \overrightarrow{r}</math>の意味から、<math>d \overrightarrow{r} = dx \overrightarrow{i} + dy \overrightarrow{j} + dz \overrightarrow{k}</math>と記述する点である。<br> | |||
この例題では、ベクトル関数はz成分は無いため、<math>d \overrightarrow{r} = dx \overrightarrow{i} + dy \overrightarrow{j}</math>としている。<br> | |||
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上記のポイントを踏まえて、線積分を計算する。<br> | |||
<math> | |||
\begin{align} | |||
\int_C \overrightarrow{F} \cdot d \overrightarrow{r} &= \int_C (-3x^2 \overrightarrow{i} + 5xy \overrightarrow{j}) \cdot (dx \overrightarrow{i} + dy \overrightarrow{j}) \\ | |||
&= \int_C (-3x^2 dx + 5xy dy) | |||
\end{align} | |||
</math><br> | |||
ドット(⋅)は内積を表している。<br> | |||
ここで、<math>\overrightarrow{F}(x, y) = -3x^2 \overrightarrow{i} + 5xy \overrightarrow{j}</math>を成分表示すると、<math>\begin{pmatrix} -3x^2 \\ 5xy \end{pmatrix}</math>である。<br> | |||
同様に、 <math>dx \overrightarrow{i} + dy \overrightarrow{j}</math>の成分表示は、<math>\begin{pmatrix} dx \\ dy \end{pmatrix}</math>である。<br> | |||
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次に、xとyをパラメータt(ここでは、<math>x = t, \ y = 4t dt</math>を代入する)で記述する。これが、経路Cを満たすように式変形するということである。<br> | |||
<math> | |||
\begin{align} | |||
\int_C (-3x^2 dx + 5xy dy) &= \int_{0}^{1} -3t^2 dt + 5t(2t^2) 4t dt \\ | |||
&= \int_{0}^{1} -3t^2 dt + 40 t^4 dt \\ | |||
&= \int_{0}^{1} (-3t^2 + 40t^4) dt \\ | |||
&= \Big [ -t^3 + 8t^5 \Big]_{0}^{1} \\ | |||
&= -1 + 8 \\ | |||
&= 7 | |||
\end{align} | |||
</math><br> | |||
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==== 例題. 2 ==== | |||
ベクトル場<math>\overrightarrow{F} = a(\sin t \overrightarrow{i} + \cos t \overrightarrow{j})</math>(aは正の定数)において、 | |||
経路Cを<math>C: \overrightarrow{r} = \cos t \overrightarrow{i} + \sin t \overrightarrow{j} + bt \overrightarrow{k} \quad \Big(0 \le t \le \frac{\pi}{4} \Big)</math>)とする時、 | |||
線積分<math>\int_C \overrightarrow{F} \cdot d \overrightarrow{r}</math>を求めよ。 | |||
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<math>\overrightarrow{r} = \cos t \overrightarrow{i} + \sin t \overrightarrow{j} + bt \overrightarrow{k}</math>をtで微分すると、<br> | |||
<math>\frac{d \overrightarrow{r}}{dt} = - \sin t \overrightarrow{i} + \cos t \overrightarrow{j} + b \overrightarrow{k}</math>となり、<br> | |||
<math>d \overrightarrow{r} = (-\sin t \overrightarrow{i} + \cos t \overrightarrow{j} + b \overrightarrow{k}) dt</math>である。<br> | |||
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<math>d \overrightarrow{r}</math>を成分表示すると、<math>d\overrightarrow{r} = \begin{pmatrix} -\sin t \\ \cos t \\ b \end{pmatrix} dt</math>となる。<br> | |||
また、<math>\overrightarrow{F}</math>を成分表示すると、<math>\overrightarrow{F} = \begin{pmatrix} a \cos t \\ a \cos t \\ 0 \end{pmatrix}</math>である。<br> | |||
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内積はx成分、y成分、z成分それぞれ乗算した後に加算して求めるため、以下のように計算できる。<br> | |||
<math> | |||
\begin{align} | |||
\overrightarrow{F} \cdot d \overrightarrow{r} &= \begin{pmatrix} a \sin t \\ a \cos t \\ 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} - \sin t \\ \cos t \\ b \end{pmatrix} dt \\ | |||
&= a (- \sin^2 t + \cos^2 t) dt \\ | |||
&= a \cos 2t \qquad \because \cos{2 \theta} = \cos^2{\theta} - \sin^2{\theta} | |||
\end{align} | |||
</math><br> | |||
<br> | |||
<math> | |||
\begin{align} | |||
\int_C \overrightarrow{F} \cdot d \overrightarrow{r} &= \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} a \cos 2t dt \\ | |||
&= \Big[ \frac{a \sin2t}{2}\Big]_0^{\frac{\pi}{4}} \\ | |||
&= \frac{a}{2} \Big\{ \sin(2 \times \frac{\pi}{4}) - \sin 0 \Big\} \\ | |||
&= \frac{a}{2} (1 - 0) \\ | |||
&= \frac{a}{2} | |||
\end{align} | |||
</math><br> | |||
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