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「線積分」の版間の差分
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→3次元の線積分
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考え方は上記と同様で、次のようにする。<br> | 考え方は上記と同様で、次のようにする。<br> | ||
<math>\int_{a}^{b}U(x(t),y(t),z(t))\sqrt{(\frac{dx}{dt})^2+(\frac{dy}{dt})^2+\frac{dz}{dt}^2}\, dt</math><br> | <math>\int_{a}^{b}U(x(t),y(t),z(t))\sqrt{(\frac{dx}{dt})^2+(\frac{dy}{dt})^2+\frac{dz}{dt}^2}\, dt</math><br> | ||
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== ベクトル場の線積分の計算 == | |||
<math>\overrightarrow{F} = F_1(x,y,z) \overrightarrow{i} + F_2(x,y,z) \overrightarrow{j} + F_3(x,y,z) \overrightarrow{k}</math>のベクトル空間内の2点AからBを結ぶ曲線経路Cがある。<br> | |||
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この曲線上で、ベクトル<math>\overrightarrow{F}</math>の接線方向成分の大きさを表すスカラー関数<math>F_t(s)</math>を考える。(sはAからの孤の長さである)<br> | |||
<u>※接線はタンジェントラインと呼ぶため、接線方向成分の意味でtを添字にしている。</u><br> | |||
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<math>F_t(s)</math>の線積分は、次式となる。<br> | |||
<math>\int_C F_t (s) ds</math><br> | |||
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<math>F_t(s)</math>は、曲線経路Cの単位接線ベクトル<math>\overrightarrow{t}(s)</math>とベクトル<math>\overrightarrow{F}</math>の内積として求まるため、以下のように記述できる。<br> | |||
<math>\int_C F_t (s) ds = \int_C \overrightarrow{F} \cdot \overrightarrow{t} ds</math><br> | |||
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この量をベクトル<math>\overrightarrow{F}</math>の線積分(接線線積分)という。<br> | |||
曲線経路Cをsのパラメータ(媒介変数)として、<math>\overrightarrow{r}(s) = x(s) \overrightarrow{i} + y(s)\overrightarrow{j} + z(s)\overrightarrow{k}</math>と表すと、<br> | |||
単位接線ベクトル<math>\overrightarrow{t}</math>は、<math>\overrightarrow{t} = \frac{d\overrightarrow{r}}{ds}</math>となる。<br> | |||
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したがって、ベクトル<math>\overrightarrow{F}</math>の線積分は、以下のようにも記述できる。<br> | |||
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\begin{align} | |||
\int_C \overrightarrow{F} \cdot \overrightarrow{t} ds &= \int_C \overrightarrow{F} \cdot \frac{d\overrightarrow{r}}{ds} ds \\ | |||
&= \int_C \overrightarrow{F} \cdot d\overrightarrow{r} | |||
\end{align} | |||
</math><br> | |||
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記述方法が複数あるが、重要なことは、曲線経路Cにおいてベクトル場の接線成分を積分するということである。<br> | |||
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