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このような直接的ではない情報を、下式の右辺のように計算すれば、それができる。<br> | このような直接的ではない情報を、下式の右辺のように計算すれば、それができる。<br> | ||
xとaとの間のわずかな距離はx−aと表せるが、これは(1)式の右辺に(x−a)や(x−a)<sup>2</sup>や(x−a)<sup>3</sup>という形で出てきている。<br> | xとaとの間のわずかな距離はx−aと表せるが、これは(1)式の右辺に(x−a)や(x−a)<sup>2</sup>や(x−a)<sup>3</sup>という形で出てきている。<br> | ||
<math>f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+\frac{1}{2!}f''(a)(x-a)^{2}+\frac{1}{3!}f'''(a)(x-a)^{3}+ \cdots</math><br> | <math> | ||
<br> | \begin{align} | ||
f(x) &= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!}\frac{d^{n}f(a)}{dx^{n}}(x-a)^{n} \\ | |||
&= f(a)+f'(a)(x-a)+\frac{1}{2!}f''(a)(x-a)^{2}+\frac{1}{3!}f'''(a)(x-a)^{3}+ \cdots | |||
\end{align} | |||
</math> | |||
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このようにして、関数f(x)を無限級数の和に展開して表すことができる。<br> | このようにして、関数f(x)を無限級数の和に展開して表すことができる。<br> | ||
これを、aのまわり(x=aにおける)でのテイラー級数展開と呼ぶ。<br> | これを、aのまわり(x=aにおける)でのテイラー級数展開と呼ぶ。<br> | ||
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更にかみ砕いて言うと、<u>関数f(x)全体をxの多項式で近似することはできない場合でも、</u><br> | |||
ある値aの付近であれば関数f(x)はテイラー級数展開を使った多項式で近似できるということである。<br> | <u>ある値aの付近であれば関数f(x)はテイラー級数展開を使った多項式で近似できるということである。</u><br> | ||
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もし、aとして0を選ぶ場合(原点のまわりでのテイラー級数展開)を、マクローリン級数展開と呼ぶ。<br> | もし、aとして0を選ぶ場合(原点のまわりでのテイラー級数展開)を、マクローリン級数展開と呼ぶ。<br> | ||
<math>f(x)=f(0)+f'(0)x+\frac{1}{2!}f''(0)x^{2}+\frac{1}{3!}f'''(0)x^{3}+ \cdots</math | <math> | ||
\begin{align} | |||
f(x) &= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!}\frac{d^{n}f(0)}{dx^{n}}x^{n} \\ | |||
&= f(0)+f'(0)x+\frac{1}{2!}f''(0)x^{2}+\frac{1}{3!}f'''(0)x^{3}+ \cdots | |||
\end{align} | |||
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