応用数学 - 常微分方程式の基礎

一般解と特殊解

n階常微分方程式の初期値問題において、n個の任意定数を含む解を、一般解という。
一般解の任意定数に特別な値を代入して得られる解を、特殊解(特別解または特解)という。

1つの定数Cに対して、以下の初期値問題の解曲線を $y=y(x,C)$ とする。
${\frac {dy}{dx}}=f(x,y)\qquad {\mbox{( 1 階 常 微 分 方 程 式 )}}$
$y(a)=C\qquad {\mbox{( 初 期 条 件 : x = a の と き y = C )}}$

定数Cを動かした時、解曲線 $y=y(x,C)$ は様々な関数を表す。
このように、常微分方程式 ${\frac {dy}{dx}}=f(x,y)$ の無数の解曲線を表す任意定数Cを含んだ解 $y=y(x,C)$ が一般解である。

一般解は、微分方程式の解曲線の集まり、すなわち、解曲線群を表す。
特殊解は、解曲線群の中の個々の解曲線を表す。

一般解と特殊解の例

• 1階常微分方程式

  ${\frac {dy}{dx}}=2x$

  • 一般解

    $y=x^{2}+C\qquad {\mbox{( C は 任 意 定 数 ) }}$

  • 特殊解

    Cに0を代入した時の特殊解 : $y=x^{2}$

    Cに1を代入した時の特殊解 : $y=x^{2}+1$

  
  

• 2階常微分方程式

  ${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}-2{\frac {dy}{dx}}+y=0$

  • 一般解

    $y=(C_{1}x+C_{2})e^{x}\qquad (C_{1},C_{2}:{\mbox{任 意 定 数 }})$

  • 特殊解

    $C_{1}=1,\,C_{2}=1$ を代入した時の特殊解 : $y=(x+1)e^{x}$

特異解

常微分方程式の一般解の任意定数において、どのような値を代入しても得られない解が存在する場合がある。
このような解を、特異解という。

つまり、特異解は一般解に含めることができない解である。

特異解の例

• 常微分方程式

  $\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}-{\frac {dy}{dx}}x+y=0$

  • 一般解

    $y=Cx-C^{2}$ (直線群)

  • 特異解

    $y={\frac {x^{2}}{4}}$ (放物線)

解の存在と一意性

特別な場合の初期値問題については、解の存在とその一意性が保障されている。

• 定理(解の存在と一意性)

  2変数関数f(x, y)が点(a, b)を含むxy平面上のある領域において、連続かつ有限の値をとるならば、

  初期値問題 ${\frac {dy}{dx}}=f(x,y),\quad y(a)=b$ は、少なくとも1つの解をもつ。

  さらに、その領域で、f(x, y)がyに関して偏微分可能であり、${\frac {\partial f}{\partial y}}$ が連続ならば、ただ1つの解をもつ。

基礎方程式 (支配方程式)

根本的な物理法則を数学的な方程式で表したものを、基礎方程式、または、支配方程式(governing equations)という。
それらの方程式は、常微分方程式、または、偏微分方程式で表されることが多い。

基礎方程式の例

• マクスウェル方程式(電磁気学)
• シュレーディンガー波動方程式(量子力学)
• ハイゼンベルグ運動方程式(量子力学)
• ナビエ-ストークス方程式(流体力学)
• アインシュタイン方程式(一般相対性理論)

常微分方程式の例

ニュートンの冷却法則

ニュートンの冷却法則とは、物体の温度の低下(上昇)速度は、外気との温度差に比例する。
${\frac {dx}{dt}}=-k(T-T_{s})\qquad$ (変数分離系)

xは熱した物質の温度で、時間tを変数とする関数であり、x_sは周囲の環境の温度で定数である。
また、$k>0$ は冷却の強さを表す定数（熱伝達率）であり、熱容量、表面積、熱伝導率等に依存する。

この時、${\frac {dx}{dt}}=-k(x-x_{s})$ の一般解は、
${\begin{array}{lcl}{\frac {dx}{x-x_{s}}}&=&-k\\\int {\frac {1}{x-x_{s}}}dx&=&\int {-kdt}\\ln(x-x_{s})&=&-kt+C\\x-x_{s}&=&e^{-kt+c}\\x&=&e^{-kt}e^{C}+x_{s}\\x&=&Ce^{-kt}+x_{s}\quad \therefore e^{C}=C\end{array}}$

したがって、$x=Ce^{kt}+x_{s}\qquad$ (C : 任意の定数)となる。
$t=0$ とする時、定数Cは $C=x-x_{s}$ となる。
この時、特殊解は、$x=(x-x_{s})e^{kt}+x_{s}$ となる。

初期値を $x(0)=x_{0}$ とする時、$x(t)=(x_{0}-x_{s})e^{-kt}+x_{s}$ と表すことができる。
​

例題1.
フライパンの温度x0を100[℃]、部屋の温度xsを20[℃]とする。
フライパンを50分間放置した場合(x(t) = 50)、ニュートンの冷却法則における定数kを求めよ。

解答.
$x(t)=(x_{0}-x_{s})e^{-kt}+x_{s}$ より、
$50=(100-20)e^{-30k}+20$
$k=-{\frac {1}{30}}ln{\frac {3}{8}}$
したがって、$k\cong 0.03$ となる。

例題2.
温度20[℃]の室内で温度60[℃]のコーヒーを5分間放置する場合、コーヒーは何[℃]になるか求めよ。
この部屋では、$k=0.032$ とする。

解答.
$x(t)=(x_{0}-x_{s})e^{-kt}+x_{s}$ より、
$x=(60-20)e^{-5\times 0.032}+20$
$x\cong 54.1$

人口増加の法則

人口(一般に生物の個体数)の増加率は、その時点での人口に比例する。
${\frac {dx}{dt}}=kx\qquad$ (時刻tにおける人口 : x(t))

人口(一般に生物の個体数)の増加は、その時点での人口に比例する。
時刻tにおける人口をx(t)とする時、以下に示す微分方程式が成立する。
${\frac {dx}{dt}}=kx\qquad$ (マルサスの法則)
一般解は、$x=Ce^{kt}\qquad$ (Cは、任意定数)

kは出生率aと死亡率bとの差 $a-b$ である。(kは増殖率と呼ばれる)
$k>0$ (出生率 > 死亡率)ならば、人口は時間とともに指数関数的に増加する。

• マルサスの法則

  まだ、人口が少なく、食住環境が良好ならば、人口はマルサスの法則に従う。

  ${\frac {dx}{dt}}=(a-b)x$

  
  

• ロジスティック方程式 (死亡率bが人口に比例)

  一方、次第に人口が増加し、食料や住居環境が悪くなってくると、人口増加は抑制される。

  例えば、食料の供給が制限されると、死亡率は一定ではなく、人口に比例する。

  ${\frac {dx}{dt}}=(a-bx)x$

  
  

• ゴムパーツ方程式 (死亡率bが人口の対数に比例)

  または、人口の対数に比例する。

  ${\frac {dx}{dt}}=(a-b\,\ln {x})x$

ニュートンの運動方程式

物体の加速度は、それに作用する力に比例し、その質量に反比例する。
$F=m{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}\qquad$ (F : 力、 m : 質量、 ${\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}$ : 加速度)