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「多重積分」の版間の差分
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→多重積分の極座標変換
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== | == 2重積分の極座標変換 == | ||
軸対称や球対称の関数を積分する際に用いられる極座標による積分である。<br> | 軸対称や球対称の関数を積分する際に用いられる極座標による積分である。<br> | ||
<math>\int_{- \infty}^{+ \infty} \int_{- \infty}^{+ \infty} {e^{- (x^{2} + y^{2})} \, dx dy} \qquad D = \{ (x, y) \, | \, 0 \le x^{2} + y^{2} \le + \infty, \, - \infty < x < + \infty, \, - \infty < y < + \infty \}</math><br> | <math>\int_{- \infty}^{+ \infty} \int_{- \infty}^{+ \infty} {e^{- (x^{2} + y^{2})} \, dx dy} \qquad D = \{ (x, y) \, | \, 0 \le x^{2} + y^{2} \le + \infty, \, - \infty < x < + \infty, \, - \infty < y < + \infty \}</math><br> | ||
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== 2重積分の極座標変換 (楕円の場合) == | |||
領域が円ではなく楕円の場合も、極座標変換して2重積分を行うことができる。<br> | |||
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<math>\iint_D \, dxdy \qquad D = \left\{ (x, y) \ | \ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} \le 1 \right\}</math><br> | |||
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領域が楕円の場合、分母にある <math>a^{2}</math> , <math>b^{2}</math> を消すために、極座標変換 <math>x = ar \cos(\theta), \ \ \ y = br \sin(\theta) \quad ( r \ge 0, \ \ 0 \le \theta \le 2 \pi )</math> とおく。<br> | |||
ヤコビアンを計算して、 <math>dx dy</math> と <math>dr d \theta</math> の関係式を求める。<br> | |||
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\begin{align} | |||
J = & \left| \begin{array}{ccc} \frac{\partial x}{\partial r} & \frac{\partial x}{\partial \theta} \\ \frac{\partial y}{\partial r} & \frac{\partial y}{\partial \theta} \end{array} \right| \\ | |||
= & \left| \begin{array}{ccc} a \cos \theta & - a r \sin \theta \\ b \sin \theta & b r \cos \theta \end{array} \right| \\ | |||
= & \ abr \left( \cos^2 \theta + \sin^2 \theta \right) \\ | |||
= & \ abr | |||
\end{align} | |||
</math><br> | |||
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よって、 <math>dxdy = abr \ dr d \theta</math> となる。<br> | |||
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また、積分範囲は <math>0 \le r^{2} < 1, \, \, -1 \le \cos(\theta) \le 1, \, \, -1 \le \sin(\theta) \le 1</math> となるので、<br> | |||
変換後の積分範囲 <math>D'</math> は、 <math>D' = \left\{ (r, \theta) \, | \, 0 \le r < \infty, \, \, 0 \le \theta \le 2 \pi \, \right\}</math> の形にできる。<br> | |||
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<math> | |||
\begin{align} | |||
\iint_D \, dxdy = & \int_{0}^{2 \pi} \int_{0}^{1} abr \, dr d \theta \\ | |||
= & ab \int_{0}^{1} {r} \, dr \int_{0}^{2 \pi} \, d \theta \\ | |||
= & ab \Big[ \frac{r^{2}}{2} \Big]_{0}^{1} \cdot \Big[ \theta \Big]_{0}^{2 \pi} \\ | |||
= & ab \cdot \frac{1}{2} \cdot 2 \pi \\ | |||
= & ab \pi | |||
\end{align} | |||
</math><br> | |||
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