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「多重積分」の版間の差分
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→積分領域が変数に依存し、変数変換する必要がある場合
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&= \frac{a^{8}}{8} \left ( \frac{1}{4} - \frac{1}{6} \right ) 2 \pi \\ | &= \frac{a^{8}}{8} \left ( \frac{1}{4} - \frac{1}{6} \right ) 2 \pi \\ | ||
&= \frac{\pi a^{8}}{48} | &= \frac{\pi a^{8}}{48} | ||
\end{align} | |||
</math><br> | |||
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== 多重積分の極座標変換 == | |||
軸対称や球対称の関数を積分する際に用いられる極座標による積分である。<br> | |||
<math>\int_{- \infty}^{+ \infty} \int_{- \infty}^{+ \infty} {e^{- (x^{2} + y^{2})} \, dx dy} \qquad D = \{ (x, y) \, | \, 0 \le x^{2} + y^{2} \le + \infty, \, - \infty < x < + \infty, \, - \infty < y < + \infty \}</math><br> | |||
<br> | |||
積分範囲の中に円 <math>0 \le x^{2} + y^{2} \le + \infty</math> が含まれている。<br> | |||
このように、円が含まれている時は極座標変換 <math>x = r \cos(\theta), \, y = r \sin(\theta), \quad (0 \le r, \, \, 0 \le \theta \le 2 \pi)</math> とおく。<br> | |||
（ <math>r</math> は半径のため必ず <math>0</math> 以上、 <math>\theta</math> は最大でも1周分なので <math>0 \le \theta \le 2 \pi</math> または <math>- \pi \le \theta \le \pi</math> の制約がかかる点に注意する）<br> | |||
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ここで変数変換をおこなったのでヤコビアンを計算して <math>dx dy</math> と <math>dr d \theta</math> の関係式を求める必要がある。<br> | |||
<math> | |||
\begin{align} | |||
J = & \left| \begin{array}{ccc} \frac{\partial x}{\partial r} & \frac{\partial x}{\partial \theta} \\ \frac{\partial y}{\partial r} & \frac{\partial y}{\partial \theta} \end{array} \right| \\ | |||
= & \left| \begin{array}{ccc} \cos \theta & - r \sin \theta \\ \sin \theta & r \cos \theta \end{array} \right| \\ | |||
= & r \left( \cos^2 \theta + \sin^2 \theta \right) \\ | |||
= & r | |||
\end{align} | |||
</math><br> | |||
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したがって、 <math>dx dy = r \ dr d \theta</math> となる。<br> | |||
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積分範囲は <math>0 \le r^2 < \infty, \ \ \ -1 \le r \cos(\theta) \le 1, \ \ \ -1 \le r \sin(\theta) \le 1</math> となり、<br> | |||
<math>r \ge 0</math> のため、 <math>0 \leqq r \leqq \infty, \ \ \ -1 \le \cos(\theta) \le 1, \ \ \ -1 \le \sin(\theta) \le 1</math> となる。<br> | |||
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<math>\cos(\theta) \ge 0</math> かつ <math>\sin(\theta) \ge 0</math> を満たすような <math>\theta</math> は <math>0 \le \theta \le 2 \pi</math> なので、<br> | |||
変換後の積分範囲 <math>D'</math> は <math>D' = \{ (r, \theta) \, | \, 0 \le r \le \infty, \, \, 0 \le \theta \le 2 \pi \}</math> の形に変換でき、2重積分を計算することができる。<br> | |||
<br> | |||
<math> | |||
\begin{align} | |||
\int_{- \infty}^{+ \infty} \int_{- \infty}^{+ \infty} {e^{- (x^{2} + y^{2})} \, dx dy} &= \int_{0}^{2 \pi} \int_{0}^{\infty} {e^{- (r^{2} \cos^{2}(\theta) + r^{2} \cos^{2}(\theta))} \, r dr d \theta} \\ | |||
&= \int_{0}^{2 \pi} \int_{0}^{\infty} {e^{- r^{2}} \, r dr d \theta} | |||
\end{align} | |||
</math><br> | |||
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ここで、更に変数変換を行う。<br> | |||
<math>t = r^{2}</math> とおくと、 <math>dt = 2r dr</math> となり、変数 <math>t</math> の積分範囲は、 <math>0 \le t < \infty</math> となる。<br> | |||
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<math> | |||
\begin{align} | |||
\int_{0}^{2 \pi} \int_{0}^{\infty} {e^{- r^{2}} \, r dr d \theta} &= \frac{1}{2} \int_{0}^{2 \pi} \int_{0}^{\infty} {e^{-t} \, dt d \theta} \\ | |||
&= \pi \int_{0}^{\infty} {e^{-t} \, dt} \\ | |||
&= \pi \Big[ - e^{-t} \Big]_{0}^{\infty} \\ | |||
&= \pi \, (0 + 1) \\ | |||
&= \pi | |||
\end{align} | \end{align} | ||
</math><br> | </math><br> | ||