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「応用数学 - 1階常微分方程式」の版間の差分
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→1階線形微分方程式の例題
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ゆえに、一般解は次式となる。 | ゆえに、一般解は次式となる。 | ||
<math>y = x + \frac{C}{x} \qquad \mbox{( C : 任 意 の 定 数 )}</math> | <math>y = x + \frac{C}{x} \qquad \mbox{( C : 任 意 の 定 数 )}</math> | ||
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== ベルヌーイ形微分方程式 == | |||
==== ベルヌーイ形微分方程式とは ==== | |||
<math>f(x), \, g(x)</math> をxのみの関数とする時、以下の形の微分方程式を、ベルヌーイ(Bernoulli)形微分方程式という。<br> | |||
<math>\frac{dy}{dx} + f(x) y = g(x) yk \quad (k \ne 0, 1) \cdots (1)</math><br> | |||
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ベルヌーイ形方程式は、<math>u = y^{1 - k}</math> とおくことにより、1階線形微分方程式に記述することができる。<br> | |||
上式(1)において、<math>k = 0, \, k = 1</math>の場合は、それぞれ、変数分離形微分方程式、1階線形微分方程式になる。(そのため、kの条件 <math>k \ne 0, 1</math> で排除している)<br> | |||
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ベルヌーイ形微分方程式の例. | |||
ある値域(人口N人)のファッションの伝搬速度は、ファッションに参加している人数yと未参加者N - yの両方に比例すると考えられる。 | |||
<math>\frac{dy}{dx} = ky (N - y) \qquad</math> (ロジスティック方程式) | |||
この方程式を書き直すと以下のベルヌーイ形になる。 | |||
<math>\frac{dy}{dx} - kNy = - ky^2 \qquad</math> (ベルヌーイ形) | |||
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==== ベルヌーイ形微分方程式の1階線形微分方程式への変換 ==== | |||
<math>\frac{dy}{dx} + f(x) y = g(x) y^k (k \ne 0, 1) \cdots (1)</math> において、<math>y \ne 0</math>の場合を考える。( <math>y = 0</math> は、式(1)の解の1つである)<br> | |||
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右辺からyを消すため、両辺を <math>y^k</math> で除算すると、<br> | |||
<math>y - k \frac{dy}{dx} + f(x) y^{1 - k} = g(x) \cdots (2)</math><br> | |||
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ここで、<math>\frac{d}{dx}(y^{1 - k}) = (1 - k)y^{-k} \frac{dy}{dx}</math> という事実に着目して、上式(2)の両辺に <math>1 - k</math> を乗算すると、<br> | |||
<math>(1 - k) y^{-k} \frac{dy}{dx} + (1 - k) f(x) y^{1 - k} = (1 - k) g(x)</math><br> | |||
<br> | |||
ここで、<math>u = y^{1 - k}, \quad \frac{du}{dx} = (1 - k) y^{-k} \frac{dy}{dx}</math> とおき、未知関数をyからuへ変換する。<br> | |||
この時、未知関数uの1階線形微分方程式となる。<br> | |||
<math>\frac{du}{dx} + (1 - k) f(x) u = (1 - k) g(x)</math><br> | |||
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==== ベルヌーイ形微分方程式の例題 ==== | |||
例題1. | |||
次の微分方程式の一般解を求めよ。 | |||
<math>\frac{dy}{dx} + 2xy = 2x y^4</math> | |||
解答. | |||
<math>\frac{dy}{dx} + 2xy = 2x y^4</math> の両辺を <math>y^4</math> で除算して、<math>1 - 4 = -3</math> を乗算する。 | |||
<math>-3y -4 \frac{dy}{dx} - 6x y^{-3} = -6x</math> | |||
ここで、<math>u = y^{-3}</math> とおくと、<math>\frac{du}{dx} = -3y^{-4} \frac{dy}{dx}</math> となるため、 | |||
<math>\frac{du}{dx} - 6xu = -6x</math> となり、未知関数uに関する1階線形微分方程式である。 | |||
1階線形微分方程式の公式を使用する。 | |||
積分因子 : <math>h(x) = e^{- \int{6x dx}}</math> | |||
<math> | |||
\begin{align} | |||
u &= e^{\int{6x dx}} \left \{ \int{-6x e^{- \int{6x dx}} dx + C} \right \} \\ | |||
&= e^{3x^2} \left \{ \int{-6x e^{-3x^2} dx + C} \right \} \\ | |||
&= e^z \left \{ \int{-6x e^{-z} dx + C} \right \} \qquad (\because z = 3x^2) \\ | |||
&= e^z (e^{-z} + C) \\ | |||
&= 1 + C e^z | |||
\end{align} | |||
</math> | |||
ゆえに、<math>y^3 = \frac{1}{1 + C e^{3x^2}} \qquad \mbox{( C : 任 意 の 定 数 )}</math> | |||
<math>y = 0</math> となる解は、<math>C = + \infty</math> の場合に対応する。 | |||
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[[カテゴリ:解析学]] | [[カテゴリ:解析学]] | ||