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「応用数学 - 1階常微分方程式」の版間の差分
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→変数分離形微分方程式
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\end{align} | \end{align} | ||
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<br><br> | |||
== 同次形微分方程式 == | |||
<math>\frac{dy}{dx}</math> が <math>\frac{y}{x}</math> のみの関数になっている微分方程式を、同次形微分方程式という。<br> | |||
<math>\frac{dy}{dx} = f \left ( \frac{y}{x} \right )</math><br> | |||
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同次形微分方程式は、変数変換することにより、変数分離形として記述できる。<br> | |||
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変数分離形として記述できることの説明 | |||
<math>u = \frac{y}{x}</math> とおけば、<math>y = ux</math> より、積の微分公式を使用して、<math>\frac{dy}{dx} = \frac{du}{dx} x + u</math> となる。 | |||
これを、<math>\frac{dy}{dx} = f \left ( \frac{y}{x} \right )</math> に代入すると、<math>u + \frac{du}{dx} x = f(u)</math> となる。 | |||
したがって、<math>\frac{du}{dx} = \frac{f(u) - u}{x}</math> | |||
これは未知関数uの変数分離形である。 | |||
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同次形微分方程式の例<br> | |||
* <math>\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} + 1</math> | |||
* <math>\frac{dy}{dx} = 2 \left ( \frac{y}{x} \right )^3 + \frac{y}{x}</math> | |||
* <math>\frac{dy}{dx} = \frac{(x + y)}{(x - y)} \quad \Rightarrow</math> 分母分子をxで除算すると、<math>\frac{dy}{dx} = \frac{1 + \frac{y}{x}}{1 - \frac{y}{x}}</math> と記述できるため、同次形微分方程式である。 | |||
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例題. | |||
微分方程式の一般解を求めよ。 | |||
<math>\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} + 1</math> | |||
解答. | |||
<math>\frac{y}{x} = u</math> とおくと、<math>y = ux</math> | |||
積の微分公式より、<math>\frac{dy}{dx} = \frac{du}{dx} x + u</math> | |||
これを微分方程式に代入すると、<math>u + \frac{du}{dx} x = u + 1</math> となり、各項を計算すると、<math>\frac{du}{dx} x = 1</math> となる。 | |||
したがって、<math>\frac{du}{dx} = \frac{1}{x}</math> であるため、変数分離形となる。 | |||
この両辺をxで積分すると、 | |||
<math> | |||
\begin{align} | |||
\int{\frac{du}{dx} dx} &= \int{\frac{1}{x}} dx \\ | |||
\int{du} &= \int{\frac{1}{x} dx} \\ | |||
u &= \ln|x| + C | |||
\end{align} | |||
</math> | |||
<math>u = \frac{y}{x}</math> であるので、これを上式に代入すると、次式となる。 | |||
<math>\frac{y}{x} = \ln|x| + C</math> | |||
したがって、一般解は、 | |||
<math>y = x(\ln(|x|) + C) \qquad \mbox{( C : 任 意 定 数 )}</math> | |||
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[[カテゴリ:解析学]] | [[カテゴリ:解析学]] | ||