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「応用数学 - 1階常微分方程式」の版間の差分
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→変数分離形微分方程式
(ページの作成:「== 概要 == 1階常微分方程式としては、以下のようなものがある。<br> これらは方程式の形により分類される。<br> * 変数分離形微分方程式 * 同次形微分方程式 * 1階線形微分方程式 * ベルヌーイ形微分方程式 * 完全微分方程式 <br><br> == 変数分離形微分方程式 == f(x)をxのみの関数、g(y)をyのみの関数とする時、以下に示す形になる微分方程式を変数分離形…」) |
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* ベルヌーイ形微分方程式 | * ベルヌーイ形微分方程式 | ||
* 完全微分方程式 | * 完全微分方程式 | ||
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== <math>\frac{dy}{dx}</math>の扱い == | |||
以下の命題は、<math>\frac{dy}{dx}</math> は、形式的に分数のように扱うことができることを示している。<br> | |||
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命題1. | |||
<math>\int{ \left ( g(y) \frac{dy}{dx} \right ) dx} = \int{g(y)dy}</math> | |||
証明. | |||
<math>y = \phi(x)</math> とおいて、両辺をxで微分すると、<math>\frac{dy}{dx} = \frac{d \phi}{dx}</math> | |||
置換積分の公式より、<math>\int{g(y)dy} = \int{g(\phi(x)) \frac{d \phi}{dx} dx}</math> | |||
<math>y = \phi(x)</math> より、 | |||
<math>\int{g(\phi(x)) \frac{d \phi}{dx} dx} = \int{ \left (g(y) \frac{dy}{dx} \right ) dx}</math> | |||
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命題2. | |||
<math>g(y)dy = f(x)dx \Rightarrow \int{g(y) dy} = \int{f(x) dx}</math> | |||
証明. | |||
<math>g(y) dy = f(x) dx</math> の両辺をdxで除算して、本来の記号 <math>\frac{dy}{dx}</math> に戻すと次式となる。 | |||
<math>g(y) \frac{dy}{dx} = f(x)</math> | |||
両辺をxで積分すると次式となる。 | |||
<math>\int{g(y) \left ( \frac{dy}{dx} \right ) dx} = \int{f(x) dx}</math> | |||
左辺に対して命題1を適用すると次式となる。 | |||
<math>\int{g(y) dy} = \int{f(x) dx}</math> | |||
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命題3. | |||
<math>f(x) dx + g(y)dy = 0 \Rightarrow \int{f(x) dx} + \int{g(y) dy} = C \qquad \mbox{( C : 任 意 の 定 数 )}</math> | |||
証明. | |||
<math>f(x) dx + g(y) dy = 0</math> の両辺をdxで除算して、本来の記号<math>\frac{dy}{dx}</math> に戻すと次式となる。 | |||
<math>f(x) + g(y) \left ( \frac{dy}{dx} \right ) = 0</math> | |||
この両辺をxで積分すると次式となる。 | |||
<math> | |||
\begin{align} | |||
\int{f(x) + g(y) \left ( \frac{dy}{dx} \right ) dx} &= 0 \\ | |||
\int{f(x) dx} + \int{g(y) \left ( \frac{dy}{dx} \right ) dx} &= C | |||
\end{align} | |||
</math> | |||
左辺第2項に命題1を適用して整理する。 | |||
<math>\int{f(x) dx} + \int{g(y) dy} = C \qquad \mbox{( C : 任 意 の 定 数 )}</math> | |||
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\end{align} | \end{align} | ||
</math> | </math> | ||
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例題2. | 例題2. | ||
微分方程式の一般解を求めよ。 | 微分方程式の一般解を求めよ。 | ||
| 54行目: | 98行目: | ||
\end{align} | \end{align} | ||
</math> | </math> | ||
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例題3. | 例題3. | ||
微分方程式の一般解を求めよ。 | 微分方程式の一般解を求めよ。 | ||
| 66行目: | 110行目: | ||
y^2 &= x^2 + 2C \\ | y^2 &= x^2 + 2C \\ | ||
y^2 &= x^2 + C \qquad \mbox{( C : 任 意 の 定 数 )} | y^2 &= x^2 + C \qquad \mbox{( C : 任 意 の 定 数 )} | ||
\end{align} | |||
</math> | |||
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例題4. | |||
微分方程式の一般解を求めよ。 | |||
<math>x dx - (1 + x^2) dy = 0</math> | |||
解答. | |||
<math>dy = \frac{x}{1 + x^2}</math> とおく。 | |||
<math> | |||
\begin{align} | |||
\int{dy} &= \int{\frac{x}{1 + x^2} dx} \\ | |||
y &= \frac{1}{2} \int{\frac{2x}{1 + x^2}} \\ | |||
y &= \frac{1}{2} \ln(1 + x^2) + C \qquad \mbox{( C : 任 意 の 定 数 )} \\ | |||
\end{align} | \end{align} | ||
</math> | </math> | ||