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「線形代数の基礎 - 変換行列」の版間の差分
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→2次元の回転行列
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N次元空間における回転行列は、実数を成分とする正方行列であり、行列式が1のN次直交行列として特徴付けられる。<br> | N次元空間における回転行列は、実数を成分とする正方行列であり、行列式が1のN次直交行列として特徴付けられる。<br> | ||
<math>{}^t\!R =R^{-1} ,\;\det R=1.</math><br> | <math>{}^t\!R =R^{-1} ,\;\det R=1.</math><br> | ||
<br><br> | |||
== 等倍・偏倍行列 == | |||
ユークリッド空間の2次元空間および3次元空間では、等倍・偏倍行列は、以下の形で表すことができる。<br> | |||
<math> | |||
A = \begin{pmatrix} | |||
a & 0 \\ | |||
0 & b | |||
\end{pmatrix} | |||
</math><br> | |||
<br> | |||
<math> | |||
A = \begin{pmatrix} | |||
a & 0 & 0 \\ | |||
0 & b & 0 \\ | |||
0 & 0 & c | |||
\end{pmatrix} | |||
</math><br> | |||
<br><br> | |||
== 反転行列 == | |||
ユークリッド空間の2次元空間では、x軸まわりおよびy軸まわりの反転行列は、以下の形で表すことができる。<br> | |||
<math> | |||
A(\mbox{x 軸 ま わ り }) = \begin{pmatrix} | |||
-1 & 0 \\ | |||
0 & 1 | |||
\end{pmatrix} | |||
\qquad | |||
A(\mbox{y 軸 ま わ り }) = \begin{pmatrix} | |||
1 & 0 \\ | |||
0 & -1 | |||
\end{pmatrix} | |||
</math><br> | |||
<br> | |||
ユークリッド空間の3次元空間では、x軸まわり、y軸まわり、z軸まわりの反転行列は、以下の形で表すことができる。<br> | |||
<math> | |||
A(\mbox{x 軸 ま わ り }) = \begin{pmatrix} | |||
-1 & 0 & 0 \\ | |||
0 & 1 & 0 \\ | |||
0 & 0 & 1 | |||
\end{pmatrix} | |||
\qquad | |||
A(\mbox{y 軸 ま わ り }) = \begin{pmatrix} | |||
1 & 0 & 0 \\ | |||
0 & -1 & 0 \\ | |||
0 & 0 & 1 | |||
\end{pmatrix} | |||
\qquad | |||
A(\mbox{z 軸 ま わ り }) = \begin{pmatrix} | |||
1 & 0 & 0 \\ | |||
0 & 1 & 0 \\ | |||
0 & 0 & -1 | |||
\end{pmatrix} | |||
</math><br> | |||
<br><br> | |||
== 平行移動 == | |||
ユークリッド空間の2次元空間および3次元空間では、X軸方向にT<sub>x</sub>、Y軸方向にT<sub>y</sub>だけ移動する平行移動は、以下の形で表すことができる。<br> | |||
<math> | |||
A = \begin{pmatrix} | |||
1 & 0 & T_{x} \\ | |||
0 & 1 & T_{y} | |||
\end{pmatrix} | |||
\begin{pmatrix} | |||
x \\ | |||
y \\ | |||
1 | |||
\end{pmatrix} | |||
</math><br> | |||
<br> | |||
<math> | |||
A = \begin{pmatrix} | |||
1 & 0 & 0 & T_{x} \\ | |||
0 & 1 & 0 & T_{y} \\ | |||
0 & 0 & 1 & T_{z} | |||
\end{pmatrix} | |||
\begin{pmatrix} | |||
x \\ | |||
y \\ | |||
z \\ | |||
1 | |||
\end{pmatrix} | |||
</math><br> | |||
<br><br> | <br><br> | ||
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ユークリッド空間の2次元空間では、原点中心のθ回転(反時計回りを正)の回転行列は、以下の形で表すことができる。<br> | ユークリッド空間の2次元空間では、原点中心のθ回転(反時計回りを正)の回転行列は、以下の形で表すことができる。<br> | ||
<math> | <math> | ||
R(\theta )=\begin{ | R(\theta )=\begin{pmatrix} | ||
\cos \theta &-\sin \theta \\ | \cos \theta &-\sin \theta \\ | ||
\sin \theta &\cos \theta \\ | \sin \theta &\cos \theta \\ | ||
\end{ | \end{pmatrix} | ||
</math><br> | </math><br> | ||
<br> | <br> | ||
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これを行列の積で表すと、以下のようになる。<br> | これを行列の積で表すと、以下のようになる。<br> | ||
<math> | <math> | ||
\begin{ | \begin{pmatrix} | ||
x' \\ | |||
y' | |||
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} | |||
\cos \theta & -\sin \theta \\ | \cos \theta & -\sin \theta \\ | ||
\sin \theta & \cos \theta | \sin \theta & \cos \theta | ||
\end{ | \end{pmatrix} | ||
\begin{ | \begin{pmatrix} | ||
x \\ | |||
y | |||
\end{pmatrix} | |||
</math><br> | </math><br> | ||
<br> | <br> | ||
逆の回転は、回転角が-θとなるだけなので、<br> | 逆の回転は、回転角が-θとなるだけなので、<br> | ||
<math> | <math> | ||
R(-\theta )=\begin{ | R(-\theta )=\begin{pmatrix} | ||
\cos (-\theta) & -\sin (-\theta) \\ | \cos (-\theta) & -\sin (-\theta) \\ | ||
\sin (-\theta) & \cos (-\theta) \\ | \sin (-\theta) & \cos (-\theta) \\ | ||
\end{ | \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} | ||
\cos \theta & \sin \theta \\ | \cos \theta & \sin \theta \\ | ||
-\sin \theta & \cos \theta \\ | -\sin \theta & \cos \theta \\ | ||
\end{ | \end{pmatrix} | ||
</math><br> | </math><br> | ||
となる。<br> | となる。<br> | ||
<br> | <br> | ||
また、回転行列には、行列の指数関数を用いた表示もある。<br> | また、回転行列には、行列の指数関数を用いた表示もある。<br> | ||
<math>R(\theta) = \exp\left(\theta \begin{ | <math>R(\theta) = \exp\left(\theta \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\right)</math><br> | ||
<br><br> | <br><br> | ||