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「線形代数の基礎 - 変換行列」の版間の差分
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→2次元の回転行列
(ページの作成:「== 概要 == 線形代数において、回転行列とは、ユークリッド空間内における原点中心の回転変換の表現行列のことである。<br> <b…」) |
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また、回転行列には、行列の指数関数を用いた表示もある。<br> | また、回転行列には、行列の指数関数を用いた表示もある。<br> | ||
<math>R(\theta) = \exp\left(\theta \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}\right)</math><br> | <math>R(\theta) = \exp\left(\theta \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}\right)</math><br> | ||
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== 3次元の回転行列 == | |||
==== 各軸周りの回転 ==== | |||
3次元空間でのx軸、y軸、z軸周りの回転を表す回転行列は、それぞれ以下の通りである。<br> | |||
<math> | |||
R_x (\theta )=\begin{bmatrix} | |||
1 &0 &0 \\ | |||
0 &\cos \theta &-\sin \theta \\ | |||
0 &\sin \theta &\cos \theta \\ | |||
\end{bmatrix} | |||
</math><br> | |||
<br> | |||
<math> | |||
R_y (\theta ) = \begin{bmatrix} | |||
\cos \theta &0 &\sin \theta \\ | |||
0 & 1 & 0 \\ | |||
-\sin \theta &0 &\cos \theta \\ | |||
\end{bmatrix} | |||
</math><br> | |||
<br> | |||
<math> | |||
R_z (\theta ) = \begin{bmatrix} | |||
\cos \theta &-\sin \theta &0 \\ | |||
\sin \theta &\cos \theta &0 \\ | |||
0 &0 &1 | |||
\end{bmatrix} | |||
</math><br> | |||
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回転の方向において、R<sub>x</sub>はy軸をz軸に向ける方向、R<sub>y</sub>はz軸をx軸に向ける方向、R<sub>z</sub>はx軸をy軸に向ける方向である。<br> | |||
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==== オイラー角 ==== | |||
一般の回転行列も、これら3つの各軸周りの回転行列R<sub>x</sub>、R<sub>y</sub>、R<sub>z</sub>の積により得ることができる。<br> | |||
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例えば、以下の積は、yxz系で表したときのオイラー角がα、β、γであるような回転を表す。<br> | |||
<math>R_z (\gamma ) R_x (\beta ) R_y (\alpha )</math><br> | |||
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[[カテゴリ:線形代数]] | [[カテゴリ:線形代数]] | ||