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「第7回 - ベイズの定理」の版間の差分
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→ベイズの定理の例
(→ベイズの定理) |
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== ベイズの定理の例 == | == ベイズの定理の例 == | ||
あるガンの検査装置の性能が以下の通りとする。<br> | あるガンの検査装置の性能が以下の通りとする。<br> | ||
* | ここで、検出したを<math>A</math>、癌であるを<math>B</math>、癌ではないを<math>\bar B</math>とする。<br> | ||
*: P 検出した | * 癌である被験者を検査して、癌と検出した確率 | ||
* | *: P(検出した | 癌である) = 0.9 | ||
*: P 検出した | *: <math>P(A | B) = 0.9</math> | ||
* | * 癌ではない被験者を検査して、癌と検出した確率 | ||
*: P( | *: P(検出した | 癌ではない) = 0.1 | ||
* | *: <math>P(A | \bar B) = 0.1</math> | ||
*: P( | * 癌である確率 | ||
*: P(癌である) = 0.001 | |||
*: <math>P(B) = 0.001</math> | |||
* 癌ではない確率 | |||
*: P(癌ではない) = 0.999 | |||
*: <math>P(\bar B) = 0.999</math> | |||
<br> | <br> | ||
この時、検査装置が検出した時に被験者が癌である確率P(ガンである|検出した)を求めよ。<br> | この時、検査装置が検出した時に被験者が癌である確率P(ガンである|検出した)を求めよ。<br> | ||
<br> | |||
検査装置が"検出した"事象には、"本当にガン"場合と"ガンでない"場合の両方が含まれる。<br> | |||
そのため、"検出した"事象(下図の赤枠)を全体事象とみなす時、"本当に癌である"である確率を求める。<br> | |||
<br> | |||
以下に、求める手順を示す。<br> | |||
# "検出した、かつ、癌である" <math>P(A \cap B)</math>の確率を求める。 | |||
#: P(検出した ∩ 癌である) = P(検出した | 癌である) × P(癌である) | |||
#: <math>P(A \cap B) = P(A | B) \times P(B)</math> | |||
# "検出した"事象(上図の赤枠)の範囲の確率を求める。 | |||
#: P(検出した) <math>= P(B)</math> | |||
# P(癌である | 検出した)を求める。 | |||
#: P(癌である | 検出した) = P(検出した ∩ 癌である) / P(検出した) | |||
#: <math>P(B | A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}</math> | |||
<br> | |||
ベイズの定理より、下式を求める。<br> | |||
P(癌である | 検出した) = P(検出した | 癌である) × P(癌である) / P(検出した)<br> | |||
<math>P(B | A) = \frac{P(A | B) \times P(B)}{P(A)}</math><br> | |||
<br> | |||
まず、P(検出した ∩ 癌である)を求める。<br> | |||
<math> | |||
\begin{align} | |||
P(A \cap B) &= P(A | B) \times P(B) \\ | |||
&= 0.9 \times 0.001 \\ | |||
&= 0.0009 | |||
\end{align} | |||
</math><br> | |||
<br> | |||
次に、P(検出した)の確率の値は無いため、和事象の確率の公式を用いて求める。<br> | |||
P(検出した) = P(検出した ∩ 癌である) + P(検出した ∩ 癌ではない)<br> | |||
= P(検出した | 癌である) × P(癌である) + P(検出した | 癌ではない) × P(癌ではない)<br> | |||
<math> | |||
\begin{align} | |||
P(A) &= P(A \cap B) + P(A \cap \bar B) \\ | |||
&= P(A | B) \times P(B) + P(A | \bar B) \times P(\bar B) \\ | |||
&= 0.9 \times 0.001 + 0.1 \times 0.999 \\ | |||
&= 0.1008 | |||
\end{align} | |||
</math><br> | |||
<br> | |||
最後に、P(癌である | 検出した)の確率を求める。<br> | |||
<math> | |||
\begin{align} | |||
P(B | A) &= \frac{P(A | B) \times P(B)}{P(A)} \\ | |||
&= \frac{P(A | B) \times P(B)}{P(A | B) \times P(B) + P(A | \bar B) \times P(\bar B)} \\ | |||
&= \frac{0.9 \times 0.001}{0.9 \times 0.001 + 0.1 \times 0.999} \\ | |||
&= \frac{0.0009}{0.1008} \\ | |||
&= 0.008928 \cdots \\ | |||
&\cong 0.00893 | |||
\end{align} | |||
</math><br> | |||
<br> | |||
したがって、検査装置の検査結果が癌と検出した場合であっても、実際に癌である確率は、P(癌である | 検出した) ≅ 0.00893しかない。<br> | |||
<br> | |||
では、P(癌である | 検出した)の確率が十分に高くするには、検査装置の性能はどうあればよいかを考える。(例 : 0.9)<br> | |||
例えば、P(検出した | 癌である) = 0.9999、P(検出した | 癌ではない) = 0.0001とする時、以下の値となる。<br> | |||
<math> | |||
\begin{align} | |||
P(B | A) &= \frac{P(A | B) \times P(B)}{P(A)} \\ | |||
&= \frac{P(A | B) \times P(B)}{P(A | B) \times P(B) + P(A | \bar B) \times P(\bar B)} \\ | |||
&= \frac{0.9999 \times 0.001}{0.9999 \times 0.001 + 0.0001 \times 0.999} \\ | |||
&= \frac{0.0009999}{0.0010998} \\ | |||
&= 0.909165 \cdots \\ | |||
&\cong 0.90917 | |||
\end{align} | |||
</math><br> | |||
<br> | |||
したがって、P(癌である) = 0.001のような癌に罹る確率が低い時は、癌患者に対する検査装置の結果が癌と検出する確率は、<br> | |||
P(検出した | 癌である) = 0.9999と非常に高い確率でなくてはならない。<br> | |||
<br><br> | |||
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[[カテゴリ:統計学]] | [[カテゴリ:統計学]] | ||