13,009
回編集
「回路計算 - 電場と電位」の版間の差分
ナビゲーションに移動
検索に移動
→例題 2 : 電位
(→例題 1) |
|||
| 185行目: | 185行目: | ||
<br> | <br> | ||
b領域では、<math>x</math> は正である必要があるため、<math>\dfrac{1}{3} l</math> となる。<br> | b領域では、<math>x</math> は正である必要があるため、<math>\dfrac{1}{3} l</math> となる。<br> | ||
<br> | |||
==== 例題 3 : 電位 ==== | |||
真空中において、下図のようにx軸上で、距離3d[m]隔てた点Ａ(2d，0)、点Ｂ(-d，0)にそれぞれ2Q[C]，-Q[C]の点電荷が置かれている。 | |||
xy平面上で、電位が0[V]となる等電位線を表す図として、最も近いものを次の(1)～(5)のうちから1つ選べ。 | |||
<br> | |||
[[ファイル:Electric field and Potential 3.png|フレームなし|中央]] | |||
<br> | |||
任意の点Pと点Aおよび点Bまでの距離は、下図のようになる。<br> | |||
<br> | |||
[[ファイル:Electric field and Potential 4.png|フレームなし|中央]] | |||
<br> | |||
点電荷Q[C]のr[m]離れた地点における電位V[V]は、<math>\dfrac{1}{4 \pi \epsilon_0} \dfrac{Q}{r}</math> で表すことができる。<br> | |||
<br> | |||
任意の点P(x，y)の電位をV<sub>P</sub>[V]とする時、V<sub>P</sub>[V]は点Aによる点Pの電位V<sub>PA</sub>[V]と、点Bによる点Pの電位V<sub>PB</sub>[V]のスカラ和となる。<br> | |||
<math> | |||
\begin{align} | |||
V_P &= V_{PA} + V_{PB} \\ | |||
&= \dfrac{1}{4 \pi \epsilon_0} \dfrac{Q}{r} + \dfrac{1}{4 \pi \epsilon_0} \dfrac{-Q}{BP} \\ | |||
&= \dfrac{Q}{4 \pi \epsilon_0} \left( \dfrac{2}{\sqrt{(2d - x)^2 + y^2}} - \dfrac{1}{\sqrt{(d + x)^2 + y^2}} \right) | |||
\end{align} | |||
</math><br> | |||
<br> | |||
<math>V_P = 0 \mbox{[V]}</math> となるには、<br> | |||
<math>\dfrac{2}{\sqrt{(2d - x)^2 + y^2}} - \dfrac{1}{\sqrt{(d + x)^2 + y^2}} = 0</math> の時である。<br> | |||
<br> | |||
したがって、<br> | |||
<math> | |||
\begin{align} | |||
\dfrac{4}{(2d - x)^2 + y^2} - \dfrac{1}{(d + x)^2 + y^2} &= 0 \\ | |||
(2d - x)^2 + y^2 - 4((d + x)^2 + y^2) &= 0 \\ | |||
4d^2 - 4dx + x^2 + y^2 - 4y^2 -4(d + x)^2 &= 0 \\ | |||
4d^2 - 4dx + x^2 + y^2 - 4y^2 - 4x^2 - 8dx -4d^2 &= 0 \\ | |||
-3x^2 - 3y^2 - 12dx &= 0 \\ | |||
x^2 + y^2 + 4dx &= 0 \\ | |||
\end{align} | |||
</math><br> | |||
上式より、 | |||
<math> | |||
\begin{align} | |||
(x + 2d)^2 - 4d^2 + y^2 + 4dx &= 0 \\ | |||
(x + 2d)^2 + y^2 = (2d)^2 | |||
\end{align} | |||
</math><br> | |||
と変形できる。<br> | |||
<br> | |||
この式は、中心 <math>(-2d, 0)</math> で半径が <math>2d</math> の円の方程式である。<br> | |||
<br><br> | <br><br> | ||