13,005
回編集
「テイラー級数展開」の版間の差分
ナビゲーションに移動
検索に移動
→具体例
(ページの作成:「== 概要 == テイラー級数展開とは、そのままでは扱いにくい関数を、級数の形に近似することである。<br> <br> 例えば、ある点a…」) |
(→具体例) |
||
| 33行目: | 33行目: | ||
指数関数の逆関数である対数関数において、logxに0を代入することはできないので、原点を少しずらして、次のような関数ならば0の周りで展開できる。<br> | 指数関数の逆関数である対数関数において、logxに0を代入することはできないので、原点を少しずらして、次のような関数ならば0の周りで展開できる。<br> | ||
<math>\log (x+1)=\frac{1}{1!}x-\frac{1}{2!}x^{2}+\frac{1}{3!}x^{3}-\frac{1}{4!}x^{4}+\frac{1}{5!}x^{5}- \cdots</math><br> | <math>\log (x+1)=\frac{1}{1!}x-\frac{1}{2!}x^{2}+\frac{1}{3!}x^{3}-\frac{1}{4!}x^{4}+\frac{1}{5!}x^{5}- \cdots</math><br> | ||
<br><br> | |||
== 多変数関数のテイラー級数展開 == | |||
多変数関数についても似たような定理が成り立っている。<br> | |||
まず、2変数関数f(x,y)のテイラー級数展開は次のようになる。<br> | |||
<math> | |||
\begin{align} | |||
f(x+a, y+b) &= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!}(a\frac{\partial}{\partial x}+b\frac{\partial}{\partial y})^{n}f(x, y) \\ | |||
&= f(x, y) \\ | |||
&+ (a\frac{\partial}{\partial x}+b\frac{\partial}{\partial y})f(x, y) \\ | |||
&+ \frac{1}{2!}(a\frac{\partial}{\partial x}+b\frac{\partial}{\partial y})^{2}f(x, y) \\ | |||
&+ \frac{1}{3!}(a\frac{\partial}{\partial x}+b\frac{\partial}{\partial y})^{3}f(x, y) | |||
\end{align} | |||
</math> | |||
<br> | |||
次に、3変数関数f(x,y,z)の場合も同様の関係が成り立っており、次のようになる。<br> | |||
<math>f(x+a, y+b, z+c) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!}(a\frac{\partial}{\partial x}+b\frac{\partial}{\partial y}+c\frac{\partial}{\partial z})^{n}f(x, y)</math><br> | |||
<br><br> | <br><br> | ||
__FORCETOC__ | __FORCETOC__ | ||
[[カテゴリ:解析学]] | [[カテゴリ:解析学]] | ||