応用数学 - 広義積分と無限積分

極限の例題

例題:
$f(x)={\begin{cases}x&\qquad (x<1)\\0&\qquad (x\geq 1)\end{cases}}$
について、以下の極限を求めよ。

(1) $\lim _{x\to 1+0}{f(x)}$
(2) $\lim _{x\to 1-0}{f(x)}$
(3) $\lim _{x\to 1}{f(x)}$
(4) $\lim _{x\to +\infty }{f(x)}$
(5) $\lim _{x\to -\infty }{f(x)}$

解答:
(1)
xを正の方向から1に近づけた極限なので、
$\lim _{x\to 1+0}{f(x)}=0$

(2)
xを負の方向から1に近づけた極限なので、
$\lim _{x\to 1-0}{f(x)}=1$

(3)
xを正と負の両方から近づけた極限である。
しかし、(1)(2)より、右側極限と左側極限は一致しない。
そのため、一定の値には収束しないので、
$\lim _{x\to 1}{f(x)}$ は値なし。

(4)
xを限りなく大きくしたときの極限なので、
$\lim _{x\to +\infty }{f(x)}=0\qquad {\mbox{ 収 束 }}$

(5)
xを限りなく小さくしたときの極限なので、
$\lim _{x\to -\infty }{f(x)}=-\infty \qquad {\mbox{ 発 散 }}$