応用数学 - 1階常微分方程式

概要

1階常微分方程式としては、以下のようなものがある。
これらは方程式の形により分類される。

• 変数分離形微分方程式
• 同次形微分方程式
• 1階線形微分方程式
• ベルヌーイ形微分方程式
• 完全微分方程式

変数分離形微分方程式

f(x)をxのみの関数、g(y)をyのみの関数とする時、以下に示す形になる微分方程式を変数分離形という。
$g(y){\frac {dy}{dx}}=f(x)$

変数分離系の方程式は、以下のように記述することもある。

• $g(y)dy=f(x)dx$
• $f(x)dx-g(y)dy=0$
• ${\frac {dy}{dx}}=f(x)h(y)\quad \because h(y)={\frac {1}{g(y)}}$

• 変数分離形の例

  ${\frac {dy}{dx}}=2xy$

  ${\frac {dy}{dx}}=(x^{2}+1)\left(y+{\frac {1}{y}}\right)$

  
  

• 変数分離形ではない例

  ${\frac {dy}{dx}}=2x+3y$

  ${\frac {dy}{dx}}=x-y$

例題1. 
微分方程式の一般解を求めよ。
${\frac {dy}{dx}}=x$

解答.
${\begin{aligned}dy&=xdx\\\int {dy}&=\int {xdx}\\y&={\frac {1}{2}}x^{2}+C\qquad {\mbox{( C : 任 意 の 定 数 )}}\end{aligned}}$

例題2.
微分方程式の一般解を求めよ。
${\frac {dy}{dx}}=y$

解答.
${\begin{aligned}{\frac {1}{y}}dy&=dx\\\int {{\frac {1}{y}}dy}&=\int {dx}\\\ln {|y|}&=x+C\qquad {\mbox{( C : 任 意 の 定 数 )}}\\|y|&=e^{x+C}\\y&=\pm e^{C}e^{x}\\y&=Ce^{x}\qquad {\mbox{( C : 任 意 の 定 数 )}}\end{aligned}}$

例題3.
微分方程式の一般解を求めよ。
$ydy=xdx$

解答.
${\begin{aligned}\int {ydy}&=\int {xdx}\\{\frac {1}{2}}y^{2}&={\frac {1}{2}}x^{2}+C\qquad {\mbox{( C : 任 意 の 定 数 )}}\\y^{2}&=x^{2}+2C\\y^{2}&=x^{2}+C\qquad {\mbox{( C : 任 意 の 定 数 )}}\end{aligned}}$