ベクトル - 内積と外積

概要

ベクトルの内積とは、ベクトル ${\vec {v}}$ に対して垂直な光を当てる時、ベクトル ${\vec {v}}$ 上にできるベクトル ${\vec {w}}$ の射影の長さと、元のベクトル ${\vec {v}}$ の長さとの積のことである。
ベクトル ${\vec {v}},\,{\vec {w}}$ がある時、外積は ${\vec {v}}\cdot {\vec {w}}$ と表すため、ドット積とも呼ばれる。

ベクトルの外積とは、2本のベクトルが作る平行四辺形に対して、垂直な方向に働く新しいベクトルのことである。
ベクトル ${\vec {v}},\,{\vec {w}}$ がある時、外積は ${\vec {v}}\times {\vec {w}}$ と表すため、クロス積とも呼ばれる。

ベクトルの外積は、線形代数において幅広く使われる重要な概念であるため、線形代数の幾何学的なイメージを深めることができる。

ベクトルの外積の幾何学的な意味

ベクトルの外積とは、2つのベクトルが作る平行四辺形に対して、垂直方向に伸びる新しいベクトルである。(ベクトルの外積の解はベクトル)
ベクトルの外積で求められるベクトルの長さは、2つのベクトルが作る平行四辺形の面積と等しくなる。

なお、垂直方向とは、平行四辺形に対して、真上の方向と真下の方向という2つの場合があり、外積の方向は、右手の法則で判断することができる。
${\vec {v}}$ を人差し指、${\vec {w}}$ を中指とする場合、外積 ${\vec {v}}\times {\vec {w}}$ の方向は親指の方向となる。

ベクトルの外積の計算方法

ベクトルの外積の計算方法を、次式に示す。
${\begin{aligned}{\vec {v}}\times {\vec {w}}&=\left[{\begin{array}{cc}v_{1}\\v_{2}\\v_{3}\end{array}}\right]\times \left[{\begin{array}{cc}w_{1}\\w_{2}\\w_{3}\end{array}}\right]\\&=\left[{\begin{array}{cc}v_{2}w_{3}-w_{2}v_{3}\\-v_{1}w_{3}+w_{1}v_{3}\\v_{1}w_{2}-w_{1}v_{2}\end{array}}\right]\end{aligned}}$

これは、次式のように、基底ベクトル ${\hat {i}},\,{\hat {j}},\,{\hat {k}}$ を1列目の要素に入れて、ベクトル ${\vec {v}},\,{\vec {w}}$ をそれぞれ2列目と3列目の要素にした3次の行列式を解くことと同様である。
${\begin{aligned}{\vec {v}}\times {\vec {w}}&=\left[{\begin{array}{cc}v_{1}\\v_{2}\\v_{3}\end{array}}\right]\times \left[{\begin{array}{cc}w_{1}\\w_{2}\\w_{3}\end{array}}\right]\\&={\mbox{det}}\left(\left[{\begin{array}{cc}{\hat {i}}&v_{1}&w_{1}\\{\hat {j}}&v_{2}&w_{2}\\{\hat {k}}&v_{3}&w_{3}\\\end{array}}\right]\right)\end{aligned}}$

ベクトルの外積の長さ

ベクトルの外積の長さは、三平方の定理を用いて、次式のように求めることができる。
${\sqrt {(v_{2}w_{3}-w_{2}v_{3})^{2}+{-(v_{1}w_{3}+w_{1}v_{3})}^{2}+(v_{1}w_{2}-w_{1}v_{2})^{2}}}$

ベクトルの外積の長さと、2つのベクトルが作る平行四辺形の面積は等しいため、この方法により、平行四辺形の面積を求めることもできる。

ベクトルの外積の性質

ある2つのベクトルの外積は、そのベクトルが作る平行四辺形の面積に等しい。

• ${\vec {v}}\times {\vec {w}}=-{\vec {w}}\times {\vec {v}}$

  ベクトルの外積において、2つのベクトルを交換する時、ベクトルが伸びる方向が反対になるという性質がある。
  

  
  

• $s{\vec {v}}\times {\vec {w}}=s({\vec {v}}\times {\vec {w}})$

  ベクトルの外積 ${\vec {v}}\times {\vec {w}}$ において、一方のベクトルがS倍になる時、その外積もS倍になる。

  $S_{1}{\vec {v}}\times {\vec {w}}=S_{1}({\vec {v}}\times {\vec {w}})$ または、 ${\vec {v}}\times S_{2}{\vec {w}}=S_{2}({\vec {v}}\times {\vec {w}})$ である。

  
  

  また、一方がS₁倍になり、他方がS₂倍になる時、外積はS₁ S₂倍になる。つまり、 $S_{1}{\vec {v}}\times S_{2}{\vec {w}}=(S_{1}S_{2})({\vec {v}}\times {\vec {w}})$ である。

  
  

• 平行するベクトルの外積は0

  平行なベクトル同士の外積は、0になる。

  これは、2つのベクトルが平行の場合、平行四辺形を作ることができず、その面積が0になるからである。

  また、2つのベクトルが直交する場合、平行四辺形の面積が最大になるため、外積の長さも最大になる。