多重積分

概要

多重積分とは、関数を多変数で積分することである。

多重積分の種類

多重積分の種類は、以下の4種類に大別される。

• 積分領域が定数のみで決まり、被積分関数が変数分離できる場合

  積分領域が定数のみで決まるということは、$\int _{b}^{a}\int _{d}^{c}f(x,y)dxdy$ のように個々の変数の積分範囲が定数で表されることを指す。

• 積分領域が定数のみで決まり、被積分関数が変数分離できない場合

  被積分関数が変数分離できるということは、$f(x,y)=a(x)b(y)$ のように被積分関数が一変数関数の積で表すことができることを意味する。

• 積分領域が変数に依存し、変数変換する必要がない場合

  積分領域が変数に依存するということは、$\int _{b}^{a}\int _{h(x)}^{g(x)}f(x,y)dxdy$ のように、ある変数の積分範囲が別の変数の関数で表されることを意味する。

• 積分領域が変数に依存し、変数変換する必要がある場合

  変数変換する必要があるということは、与えられた座標系では積分領域が複雑で、変数変換しないと解析的に積分できないことを指す。

積分領域が定数のみで決まり、被積分関数が変数分離できる場合

積分領域が定数のみで決まり、被積分関数が変数分離できる場合、すなわち、
${\begin{aligned}\int _{a_{1}}^{b_{1}}dx_{1}\int _{a_{2}}^{b_{2}}dx_{2}\cdots \int _{a_{n}}^{b_{n}}dx_{n}f(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n})=\int _{a_{1}}^{b_{1}}dx_{1}\int _{a_{2}}^{b_{2}}dx_{2}\cdots \int _{a_{n}}^{b_{n}}dx_{n}\prod _{k=1}^{n}g_{k}(x_{k})\end{aligned}}$ となる場合を考える。

この場合、各1変数関数g_k(x_k)は他の変数の積分には寄与しないため、最終的に次式となり、1変数での積分の積の形に帰着する。
${\begin{aligned}&\int _{a_{1}}^{b_{1}}dx_{1}\int _{a_{2}}^{b_{2}}dx_{2}\cdots \int _{a_{n}}^{b_{n}}dx_{n}\prod _{k=1}^{n}g_{k}(x_{k})\\=&\left(\int _{a_{1}}^{b_{1}}g_{1}(x_{1})dx_{1}\right)\left(\int _{a_{2}}^{b_{2}}g_{2}(x_{2})dx_{2}\right)\cdots \left(\int _{a_{n}}^{b_{n}}g_{n}(x_{n})dx_{n}\right)\\=&\prod _{k=1}^{n}\int _{a_{k}}^{b_{k}}g_{k}(x_{k})dx_{k}\end{aligned}}$

例題. 次の定積分を求めよ。
(1) $\int _{0}^{1}dx\int _{0}^{\pi /2}dy\,e^{2x}\cos y$
(2) $\int _{0}^{1}dx\int _{0}^{1}dy\,xye^{-x^{2}-y^{2}}$

例題(1)、(2)ともに積分領域が定数のみで決まり、被積分関数が変数分離できるため、それぞれ独立した1変数での積分の積で表される。

(1)
${\begin{aligned}\int _{0}^{1}\int _{0}^{\pi /2}e^{2x}\cos y\,dxdy&=\left(\int _{0}^{1}e^{2x}dx\right)\left(\int _{0}^{\pi /2}\cos ydy\right)\\&=\left[{\frac {e^{2x}}{2}}\right]_{0}^{1}{\biggl [}\sin y{\biggl ]}_{0}^{\pi /2}\\&={\frac {e^{2}-1}{2}}\times 1\\&={\frac {e^{2}-1}{2}}\end{aligned}}$

(2)
${\begin{aligned}\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}xye^{-x^{2}-y^{2}}\,dxdy&=\left(\int _{0}^{1}xe^{-x^{2}}dx\right)\left(\int _{0}^{1}ye^{-y^{2}}dy\right)\\&=\left[-{\frac {e^{-x^{2}}}{2}}\right]_{0}^{1}\left[-{\frac {e^{-y^{2}}}{2}}\right]_{0}^{1}\\&={\frac {1}{4}}\left({\frac {1}{e}}-1\right)\left({\frac {1}{e}}-1\right)\\&={\frac {1}{4}}\left({\frac {1}{e}}-1\right)^{2}\end{aligned}}$

積分領域が定数のみで決まり、被積分関数が変数分離できない場合

ある変数で積分する際は他の変数を固定(定数とみなして)して積分して、次の変数で積分する際も同様に他の変数を固定して積分・・・を繰り返す。
積分変数を逐次変えて積分を進めていくことから、このような積分を逐次積分と呼ぶ。

例えば、被積分関数が2変数関数f(x, y)の場合、先にyを固定してxで積分して、次にyで積分するという手順となる。
$\int _{b_{y}}^{a_{y}}\left\{\int _{b_{x}}^{a_{x}}f(x,y)\,dx\right\}dy$

積分変数を選ぶ順番、例えば、上記の場合では、先にxで積分するかyで積分するかは物理数学の範囲では特に気にしなくてよい。
もし、何らかの指定がある場合は、その順序で計算する。

例題. 次の重積分を求めよ。

(1) $\int _{0}^{\pi /2}dx\int _{0}^{\pi }\sin(x+y)\,dy$
(2) $\int _{\pi }^{2\pi }dx\int _{0}^{1}xy\sin(xy)\,dy$

(1)
${\begin{aligned}\int _{0}^{\pi /2}dx\int _{0}^{\pi }\sin(x+y)\,dy&=\int _{0}^{\pi /2}dx{\biggl [}-\cos(x+y){\biggr ]}_{0}^{\pi }\\&=\int _{0}^{\pi /2}\left\{-\cos(x+\pi )+\cos x\right\}\,dx\\&=\int _{0}^{\pi /2}2\cos x\,dx\\&=2{\biggl [}\sin x{\biggr ]}_{0}^{\pi /2}\\&=2\end{aligned}}$

(2)
$f(y)=xy,\quad g(y)=-\cos(xy)$として部分積分を用いる。
${\begin{aligned}\int _{\pi }^{2\pi }dx\int _{0}^{1}xy\sin(xy)\,dy&=\int _{\pi }^{2\pi }dx\left\{{\biggl [}-xy\cos(xy){\biggr ]}_{0}^{1}-\int _{0}^{1}\left\{-x\cos(xy)\right\}dy\right\}\\&=\int _{\pi }^{2\pi }(\sin(x)-x\cos(x))\,dx\\&=\int _{\pi }^{2\pi }\sin(x)\,dx-\int _{\pi }^{2\pi }x\cos(x)\,dx\end{aligned}}$
次に、$f(x)=x,\quad g(x)=\sin(x)$として部分積分を用いる。</math>
${\begin{aligned}&\int _{\pi }^{2\pi }\sin(x)\,dx-\int _{\pi }^{2\pi }x\cos(x)\,dx\\&=\int _{\pi }^{2\pi }\sin(x)dx\,-\left\{{\biggl [}x\sin(x){\biggr ]}_{\pi }^{2\pi }-\int _{\pi }^{2\pi }\sin(x)\,dx\right\}\\&=\int _{\pi }^{2\pi }\sin(x)\,dx-2\\&={\biggl [}-\cos(x){\biggr ]}_{\pi }^{2\pi }-2\\&=-2-2\\&=-4\end{aligned}}$

積分領域が変数に依存し、変数変換する必要がない場合

与えられた座標系でそのまま積分できる(変数変換する必要がない)場合から扱う。

このパターンの最大の特徴は、積分する順番が決まっていることであり、最初に積分領域が変数に依存する積分から実行する。

例えば、2変数関数f(x, y)を$\int _{b}^{a}dx\int _{h(x)}^{g(x)}f(x,y)\,dy$ のように積分する場合、yの積分範囲がxに依存するため、先にyで積分した後にxで積分するという順番をとる。

この順番になる理由は、yでの積分結果がxの関数になるためであり、これを先に計算しないとxでの積分の被積分関数が決定しないからである。
そのため、被積分関数が変数分離できる場合でも、同時並行で各変数での積分を実行することはできない。

積分領域が変数に依存する積分から実行して、他の変数の積分の被積分関数を決定させる必要がある。