C Sharpと数値解析 - ニュートン法

概要

ニュートン法は非線形方程式の数値解法の1つであり、反復計算により方程式の根を効率的に求める手法である。

解析したい関数 $f(x)$ の接線を利用して、近似解を逐次的に求めていくことにある。
基本的なアルゴリズムは、現在の近似値 $x_{n}$ から次の近似値 $x_{n+1}$ を計算する漸化式によって表現される。

関数 $f(x)$ と、その導関数 ${\dfrac {df(x)}{dx}}=f'(x)$ を用いて、次式で近似解を更新する。

$x_{n+1}=x_{n}-{\dfrac {f(x_{n})}{\dfrac {df(x_{n})}{dx}}}=x_{n}-{\dfrac {f(x_{n})}{f'(x_{n})}}$

上式は、現在の近似値 $x_{n}$ での関数の値を、その点での接線の傾きで除算することにより、x軸と交わる点へとより近い値を得るというものである。
この過程を繰り返すことにより、最終的に方程式の根に収束させる。

ニュートン法が収束するためには、いくつかの条件が必要となる。
例えば、初期値の選択が重要であり、解の近くに位置する適切な値を選ぶ必要がある。
また、関数の導関数が零にならないことや関数が滑らかであること等が求められる。

ニュートン法は、非線形問題の数値解法として活用されている。
特に、解析的に解くことが困難な方程式を数値的に解く場合に使用されることが多い。

※注意
ニュートン法は、常に収束するわけではなく発散する可能性もある。

方程式の根とは

方程式の根 (または解) とは、その方程式を満たす値、つまり関数の値がゼロになるxの値のことである。

$f(x)=0$ となるxの値を根と呼ぶ。

例えば、$x^{2}-4=0$ という方程式の根は $x=2$ と $x=-2$ である。
これらの値を方程式に代入すると、等式が成立する。

ニュートン法は、このような根を数値的に効率的に求めるための手法の1つである。