13,005
回編集
→GF(2)の3次の拡大体
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例.1<br> | 例.1<br> | ||
<math>\omega^2 (1 + \omega + \omega^2) = \omega^2 + \omega^3 + \omega^4 = \omega^2 + \omega + 1 + \omega (\omega + 1) = 1</math | <math>\omega^2 (1 + \omega + \omega^2) = \omega^2 + \omega^3 + \omega^4 = \omega^2 + \omega + 1 + \omega (\omega + 1) = 1</math> | ||
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例.2<br> | 例.2<br> | ||
<math>\omega^2 + \omega + 1</math>の逆元は、積が1となる元<math>\omega^2</math>である。 | <math>\omega^2 + \omega + 1</math>の逆元は、積が1となる元<math>\omega^2</math>である。 | ||
<math>\omega^2 (\omega^2 + \omega + 1) = 1</math>より、<math>\omega^2 = \frac{1}{\omega^2 + \omega + 1}</math>である。 | <math>\omega^2 (\omega^2 + \omega + 1) = 1</math>より、<math>\omega^2 = \frac{1}{\omega^2 + \omega + 1}</math>である。 | ||
例えば、<math>\frac{\omega}{\omega^2 + \omega + 1} = \omega \times \omega^2 = \omega^3 = \omega + 1</math>となる。 | 例えば、<math>\frac{\omega}{\omega^2 + \omega + 1} = \omega \times \omega^2 = \omega^3 = \omega + 1</math>となる。 | ||
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上式のように、ωを<math>\omega^2 + \omega + 1</math>で割った結果もこの集合の要素となる。<br> | 上式のように、ωを<math>\omega^2 + \omega + 1</math>で割った結果もこの集合の要素となる。<br> | ||
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ωはGF(2<sup>3</sup>)の原始根、<math>f(x) = x^3 + x + 1</math>はGF(2<sup>3</sup>)の原始多項式である。<br> | ωはGF(2<sup>3</sup>)の原始根、<math>f(x) = x^3 + x + 1</math>はGF(2<sup>3</sup>)の原始多項式である。<br> | ||
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GF(2<sup>3</sup>)の原始多項式<math>f(x) = x^3 + x + 1</math>の因数分解は、<math>f(x) = (x - \omega)(x - \omega^2)(x - \omega^4)</math>となる。<br> | |||
また、GF(2)上のもう1つの3次の既約多項式<math>g(x) = x^3 + x^2 + 1</math>は、<math>g(x) = (x - \omega^3)(x - \omega^5)(x - omega^7)</math>と因数分解される。<br> | |||
したがって、GF(2)では3次の既約多項式として、<math>f(x) = x^3 + x + 1</math>の代わりに<math>g(x) = x^3 + x^2 + 1</math>を用いても、同じ3次の拡大体GF(2<sup>3</sup>)が得られる。<br> | |||
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例.3 | |||
上表(GF(2)の3次の拡大体GF(2<sup>3</sup>)の積の演算表)を用いて、GF(2<sup>3</sup>)内の次の要素の逆元を求める。 | |||
<math>\omega^2 + 1</math>の逆元 | |||
上表から、<math>\omega (\omega^2 + 1) = 1, \quad \omega = (\omega^2 + 1)^{-1}</math>となり、逆元は<math>\omega</math>である。 | |||
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