極値

1変数関数の極値

極値の見つけ方

(微分可能な)関数$f(x)$が$x=a$で極値を取るならば、${\frac {df(a)}{dx}}=0$である。
対偶を取れば、${\frac {df(a)}{dx}}\neq 0$となる点は、必ずしも極値ではない。

${\frac {df(a)}{dx}}=0$はaで極値を取るための必要条件ではあるが、十分条件ではない。

例えば、$f(x)=x^{3}$の導関数は、${\frac {df(x)}{dx}}=3x^{2}$である。
${\frac {df(x)}{dx}}=0$を解くと、$x=0$が極値点の候補として見つかるが、$f(x)=x^{3}$において$x=0$は極値点ではない。

これは、$x=\pm {\frac {1}{10}}$という点を考える時、$-{\frac {1}{10^{3}}}<f(0)<{\frac {1}{10^{3}}}$という関係が成り立つが、$f(0)$よりも大きな値を取る点と小さな値を取る点が、$x=0$の近くにある。
0のどんなに近くにも$f(0)$より大きくなる点と小さくなる点の両方が存在するため、極値ではない。

極値の判定条件

2階微分できる関数$f(x)$が存在する時、${\frac {df(a)}{dx}}=0$かつ$x=a$の前後で${\frac {df(x)}{dx}}$の符号が変化するならば、関数$f(x)$は、$x=a$で極値をとる。

さらに、以下のように判定することができる。

• ${\frac {d^{2}f(a)}{dx^{2}}}>0$ならば、$f(x)$は$x=a$で極小値をとる。
• ${\frac {d^{2}f(a)}{dx^{2}}}<0$ならば、$f(x)$は$x=a$で極大値をとる。