回路計算 - 内部抵抗

概要

内部抵抗は、実際の電源が理想的な電源から逸脱する要因として重要な概念である。
電源は内部抵抗R₀と理想的な電圧源V₀の直列接続としてモデル化することができる。

この内部抵抗の存在により、外部に負荷をかけると端子電圧が低下するという現象が発生する。

負荷に供給される電力と内部抵抗の関係において、負荷抵抗Rに供給される電力Pは、内部抵抗R₀と負荷抵抗Rの両方に依存する。
この関係は、$P={\dfrac {R}{(R+R_{0})^{2}}}V_{0}^{2}$ という式で表される。

この電力には最大値が存在する。
負荷抵抗Rを変化させていく時、ある点で電力が最大となる。
数学的な解析によって、この最大電力は負荷抵抗Rが内部抵抗R₀と等しくなった時に得られることが証明されている。

これは電力伝達の整合条件として知られる原理である。

このような内部抵抗の影響は、バッテリーの性能を理解する上で重要な概念であり、
例えば、バッテリーが大きな電流を供給しようとすると内部抵抗による電圧降下が大きくなり、結果として端子電圧が低下する。
これは特に高出力が要求される用途、電気自動車のバッテリー等では重要な事柄となる。

実用的なものでは、内部抵抗を小さく保つことが望ましいとされている。
これにより、電源から負荷への電力伝達効率を高く保つことができ、また発熱による損失も抑えることができる。

内部抵抗と負荷抵抗の最大消費電力

内部抵抗のある直流電源と負荷抵抗における最大消費電力を考える。

まず、負荷抵抗Rに掛かる電圧Vおよび電流Iについて求める。
${\begin{aligned}V&={\frac {R}{R+R_{o}}}V_{o}\\I&={\frac {V_{o}}{R+R_{o}}}\end{aligned}}$

負荷抵抗Rにおける最大消費電力Pは、$P=VI$より、次式となる。
$P=VI={\frac {R}{(R+R_{o})^{2}}}V_{o}^{2}$

縦軸を消費電力P、横軸を負荷抵抗Rとする時、下図のようなグラフになる。

上図のグラフから、最大消費電力Pを求める。
これは、消費電力Pの極値 ${\frac {dP}{dR}}=0$ におけるRの条件を求めればよい。
${\begin{aligned}{\frac {dP}{dR}}&={\frac {(R+R_{o})^{2}-2R(R+R_{o})}{(R+R_{o})^{4})}}\\&={\frac {R+R_{o}-2R}{(R+R_{o})^{3}}}\\&={\frac {-R+R_{o}}{(R+R_{o})^{3}}}=0\qquad \cdots (1)\end{aligned}}$

(1)式 ${\frac {-R+R_{o}}{(R+R_{o})^{3}}}=0$ において、負荷抵抗Rが内部抵抗R_oと等しい時(分子が0の時)、0となる。
したがって、負荷抵抗Rにおける最大消費電力Pは、$R=R_{o}$となる。