ガウス積分

概要

ガウス分布(正規分布)に対する積分をガウス積分と呼ぶ。
積分範囲が $\infty$ に及ぶため、広義積分である。

極座標の広義積分

$\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}-y^{2}}\ dxdy\qquad D=\{(x,y)\ |\ 0\leq x^{2}+y^{2}\leq \infty ,-\infty \leq x\leq \infty ,\ -\infty \leq y\leq \infty \}$

直交直線座標から円座標への変換

直交直線座標 $(x,y)$ から円座標 $(r,\theta )$ への変換は次式で与えられる。
${\begin{cases}x&=r\cos \theta \\y&=r\sin \theta \\\end{cases}}$

ヤコビアン

2重積分に応用するには、変数変換を行うことにより、ヤコビアンを計算して $dxdy$ と $drd\theta$ の関係式を求める必要がある。
${\begin{aligned}J&={\begin{vmatrix}{\frac {\partial x}{\partial r}}&{\frac {\partial x}{\partial \theta }}\\{\frac {\partial y}{\partial r}}&{\frac {\partial y}{\partial \theta }}\end{vmatrix}}\\&={\begin{vmatrix}\cos {\theta }&-r\sin {\theta }\\\sin {\theta }&r\cos {\theta }\end{vmatrix}}\\&=r\cos ^{2}{\theta }+r\sin ^{2}{\theta }\\&=r\end{aligned}}$
したがって、$dxdy=rdrd\theta$となる。

求め方

円が含まれる場合は、極座標変換 $x=r\cos {\theta },\,y=r\sin {\theta }(r\geq 0,\,0\leq \theta \leq 2\pi )$とおく。
変換後の積分範囲D'は、$D'=\{(r,\theta )\,|\,0\leq r\leq \infty ,\ 0\leq \theta \leq 2\pi \}$ の形に変形でき、2重積分を計算することができる。

${\begin{aligned}&\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}-y^{2}}\ dxdy\\=&\iint _{D'}e^{-r^{2}\cos ^{2}{\theta }-r^{2}\sin ^{2}\theta }r\ drd\theta \\=&\iint _{D'}e^{-r^{2}}r\ drd\theta \qquad \because \cos ^{2}{\theta }+\sin ^{2}\theta =1\\=&\int _{0}^{2\pi }d\theta \int _{0}^{\infty }{e^{-r^{2}}}r\ dr\\=&2\pi \int _{0}^{\infty }{e^{-r^{2}}}r\ dr\qquad \cdots (1)\end{aligned}}$

ここで、$t=r^{2}$ として変数変換を行う。
${\frac {dt}{dr}}=2r$ より、${\frac {1}{2}}dt=rdr$ となる。
また、$r=0,\,r=\infty$ の時、積分範囲は次式となる。
${\begin{cases}r=0&\implies t=0\\r=\infty &\implies t=\infty \\\end{cases}}$

上記の変数変換により、上式(1)は次のように計算することができる。
${\begin{aligned}&\pi \int _{0}^{\infty }{e^{-t}}\ dt\\=&-\pi {\big [}e^{-t}{\Big ]}_{0}^{\infty }\\=&-\pi (0-1)\\=&\pi \end{aligned}}$

ガウス積分

$\int _{-\infty }^{\infty }{e^{-x^{2}}}\ dx$

極座標における広義積分 $\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}-y^{2}}\ dxdy=\pi$ より、次式のように分けることができる。
この時、積分変数の文字は何でもよい。

${\begin{aligned}&\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}-y^{2}}\ dxdy\\=&\int _{-\infty }^{\infty }{e^{-x^{2}}}\ dx\int _{-\infty }^{\infty }{e^{-y^{2}}}\ dy\qquad \cdots (1)\end{aligned}}$

(1)式より、次式のように考えることができる。
${\begin{aligned}&\int _{-\infty }^{\infty }{e^{-x^{2}}}\ dx\int _{-\infty }^{\infty }{e^{-y^{2}}}\ dy\\=&\left(\int _{-\infty }^{\infty }{e^{-x^{2}}}\ dx\right)^{2}=\pi \qquad \cdots (2)\end{aligned}}$

(2)式より、次式が求められる。
$\int _{-\infty }^{\infty }{e^{-x^{2}}}\ dx={\sqrt {\pi }}$