ベクトル - ベクトル方程式

概要

ベクトル方程式とは、"ある条件を満たす点を、ベクトルで表現した式"のことである。

直線は、点の集合である。
例えば，直線 $y=2x+1$ は、点(x, y)が満たす条件を式にしたもので，この条件を満たす点の集合が直線になる。

ベクトルでは、点の位置を表すために、位置ベクトルが存在する。
この位置ベクトルを利用して、曲線上の点の位置ベクトル $P({\vec {p}})$ の満たす関係式を、その曲線のベクトル方程式という。

直線のベクトル方程式

定点を通り、ある直線に平行な直線のベクトル方程式

定点を通りある直線に平行な直線のベクトル方程式

定点 $A({\vec {a}})$ を通り、${\vec {0}}$ でないベクトル ${\vec {d}}$ に平行な直線のベクトル方程式
${\vec {p}}={\vec {a}}+t{\vec {d}}$

点 $A({\vec {a}})$ を通り、${\vec {0}}$ でないベクトル ${\vec {d}}$ に平行な直線をgとする。
点 $P({\vec {p}})$ が直線g上にあるということは、${\overrightarrow {AP}}=t{\vec {d}}$ と表すことができる。

${\overrightarrow {AP}}={\vec {p}}-{\vec {a}}$ より、
${\vec {p}}-{\vec {a}}=t{\vec {d}}$
$\therefore {\vec {p}}={\vec {a}}+t{\vec {d}}$
と表すことができる。

この時、${\vec {d}}$ を直線gの方向ベクトルtを媒介変数という。

また、このベクトル方程式をベクトルの成分で表すことを考える。
原点をO、点Aの座標を $A(x1,y1)$、直線g上の任意の点を $P(x,y)$ として、${\vec {d}}=(l,m)$ とする時、
ベクトル方程式は、次式となる。
${\begin{aligned}(x,y)&=(x_{1},y_{1})+t(l,m)\\&=(x_{1}+lt,y_{1}+mt)\end{aligned}}$

${\begin{cases}x=x_{1}+lt\\y=y_{1}+mt\end{cases}}$

媒介変数tを用いて表されたこの連立方程式を、直線gの媒介変数表示という。
この連立方程式からtを消去する時、次のことが成り立つ。

点 $(x_{1},y_{1})$ を通り、${\vec {d}}=(l,m)$ が方向ベクトルである直線の方程式
$m(x-x_{1})-l(y-y_{1})=0$

異なる2点を通る直線のベクトル方程式（共線条件）

異なる2点を通る直線のベクトル方程式（共線条件）の定義

異なる2点 $A({\vec {a}}),\,B({\vec {b}})$ を通る直線のベクトル方程式は、次式となる。
${\vec {p}}=(1-t){\vec {a}}+t{\vec {b}}$
または
${\vec {p}}=s{\vec {a}}+t{\vec {b}},\,s+t=1$

平面上の異なる2点 $A({\vec {a}}),\,B({\vec {b}})$ を通る直線上に，点 $P({\vec {p}})$ があることを考える。

この時、${\overrightarrow {OP}}={\overrightarrow {OA}}+t{\overrightarrow {AB}}$ と表されるので、次式となる。
${\begin{aligned}{\vec {p}}&={\vec {a}}+t({\vec {b}}-{\vec {a}})\\&=(1-t){\vec {a}}+t{\vec {b}}\end{aligned}}$

上式の方程式において、$1-t=s$ とおく時、次式としても表すことができる。
${\vec {p}}=s{\vec {a}}+t{\vec {b}}$

例. $A(2,1),\,B(3,3)$ の時、直線ABの式は $y=2x-3$ である。

P(x, y)として、ベクトルで考えると
${\begin{aligned}{\vec {p}}&={\overrightarrow {OA}}+t{\overrightarrow {AB}}\\(x,y)&={\vec {a}}+t({\vec {b}}-{\vec {a}})\\&=(2,1)+t(1,2)\\&=(t+2,2t+1)\end{aligned}}$

したがって、次式のように媒介変数表示で表すことができる。
${\begin{cases}x=t+2\\y=2t+1\end{cases}}$

上記の連立方程式からtを消去すると、直線の式 $y=2x-3$ が成り立つことがわかる。

定点を通り、あるベクトルに垂直な直線のベクトル方程式

定点を通り，ある直線に垂直な直線のベクトル方程式の定義

定点 $A({\vec {a}})$ を通り、${\vec {0}}$ でないベクトル ${\vec {n}}$ に垂直な直線のベクトル方程式
${\vec {n}}\cdot ({\vec {p}}-{\vec {a}})$
（${\vec {n}}$ は直線の法線ベクトル）

下図に、定点 $A({\vec {a}})$ を通り、ベクトル ${\vec {n}}$ に垂直な直線を示す。

点 $P({\vec {p}})$ がこの直線上にあるということは、${\vec {n}}\perp {\overrightarrow {AP}}$ である。
内積を用いて表すと、次式となる。
${\vec {n}}\cdot {\overrightarrow {AP}}=0$
$\therefore {\vec {n}}\cdot ({\vec {p}}-{\vec {a}})=0$

例. 点 $A(2,1),\,B(3,3)$ 、直線ABの式 $y=2x-3$ とする時、この直線に垂直な直線の式を求める。

P(x, y) として、ベクトルで考える。
${\overrightarrow {AP}}\cdot {\overrightarrow {A}}=0$
${\begin{pmatrix}x-2\\y-1\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}}=0$
$x-2+2y-2=0$
$2y=-x+4$
$y=-{\frac {1}{2}}x+2$

したがって、ベクトル方程式 ${\vec {n}}\cdot ({\vec {p}}-{\vec {a}})$ を用いて、定点 $A({\vec {a}})$ を通り、ベクトル ${\vec {n}}$ に垂直な直線を表すことができる。

ベクトルの終点の存在範囲

定義

ベクトルの終点の存在範囲の定義

${\overrightarrow {OA}}={\vec {a}},\,{\overrightarrow {OB}}={\vec {b}},\,{\overrightarrow {OP}}={\vec {p}},\,{\vec {p}}=s{\vec {a}}+t{\vec {b}}$ とする。（s、tは実数の変数）
s、tに条件がある時，次のような図形を表す。

直線AB
${\begin{cases}{\vec {p}}=s{\vec {a}}+t{\vec {b}}\\s+t=1\end{cases}}$

線分AB
${\begin{cases}{\vec {p}}=s{\vec {a}}+t{\vec {b}}\\s+t=1\\s\geq 0\\t\geq 0\\\end{cases}}$

$\triangle OAB$ の周と内部
${\begin{cases}{\vec {p}}=s{\vec {a}}+t{\vec {b}}\\0\leq s+t\leq 1\\s\geq 0\\t\geq 0\\\end{cases}}$

平行四辺形OACBの周と内部
${\begin{cases}{\vec {p}}=s{\vec {a}}+t{\vec {b}}\\0\leq s\leq 1\\0\leq t\leq 1\\\end{cases}}$

直線AB

異なる2点を通る直線のベクトル方程式の通り、点 $P({\vec {p}})$ が次式を満たしながら動く時、点 $P({\vec {p}})$ の存在範囲は直線ABとなる。

${\begin{cases}{\vec {p}}=s{\vec {a}}+t{\vec {b}}\\s+t=1\end{cases}}$

線分AB

点 $P({\vec {p}})$ の存在範囲を線分AB上に限定する場合を考える。

• $t=0(s=1)$ の時、点 $P({\vec {p}})$ は、点 $A({\vec {a}})$ と一致する。
• $t=0.5(s=0.5)$ の時、点 $P({\vec {p}})$ は、線分ABの中点に位置する。
• $t=1(s=0)$ の時、点 $P({\vec {p}})$ は、点 $B({\vec {b}})$ と一致する。

つまり、$0\leq t\leq 1\,\,(0\leq s\leq 1)$ の時、線分ABを表現することができる。

${\begin{cases}{\vec {p}}=s{\vec {a}}+t{\vec {b}}\\s+t=1\\s\geq 0\\t\geq 0\\\end{cases}}\qquad {\mbox{は 、 線 分 AB を 表 す }}$

△OAB

例えば、$s+t=0.5$ の時、次式となり、
tを $0\leq t\leq 0.5$ の範囲で変化させると、点Pは、下図(1)のように、線分ABに平行な線分A'B'上を動く。

${\begin{aligned}{\vec {p}}&=(0.5-t){\vec {a}}+t{\vec {b}}\\&=0.5{\vec {a}}+t({\vec {b}}-{\vec {a}})\\&=0.5{\overrightarrow {OA}}+t{\overrightarrow {AB}}\end{aligned}}$

そして、$s+t$ を、$0\leq s+t\leq 1$ の範囲で変化させると、線分A'B'は、上図(2)のように、△OABの全体を動く。

したがって、
${\begin{cases}{\vec {p}}=s{\vec {a}}+t{\vec {b}}\\0\leq s+t\leq 1\\s\geq 0\\t\geq 0\\\end{cases}}\qquad {\mbox{は 、 △ OAB の 周 と 内 部 を 表 す }}$

平行四辺形OACB

例えば、$s=0.5$ の時、${\vec {p}}=0.5{\overrightarrow {OA}}+t{\overrightarrow {OB}}$ となり、
tを $0\leq t\leq 1$ の範囲で変化させる時、点Pは、下図(1)の線分OBに平行な線分A'C'上を動く。

次に、sを $0\leq s\leq 1$ の範囲で変化させる時、上図(2)のように、線分A'C'は、線分OBから線分ACまで平行に動く。

したがって、
${\begin{cases}{\vec {p}}=s{\vec {a}}+t{\vec {b}}\\0\leq s\leq 1\\0\leq t\leq 1\\\end{cases}}\qquad {\mbox{は 、 平 行 四 辺 形 OACB の 周 と 内 部 を 表 す }}$

円のベクトル方程式

中心がC，半径がrの円のベクトル方程式

中心がC、半径がrの円のベクトル方程式の定義

3つの定点を $A({\vec {a}}),B({\vec {b}}),C({\vec {c}})$ 、円周上の任意の点を $P({\vec {p}})$ とする。
$|{\vec {p}}-{\vec {c}}|=r$
または
$({\vec {p}}-{\vec {c}})\cdot ({\vec {p}}-{\vec {c}})=r^{2}$

下図に示すように、中心C、半径rの円上にある点Pについて考える。

円の定義は、"中心Cからの距離がrである点の集まり"であるため、$CP=r$ である。
ベクトルで表すと、$|{\overrightarrow {CP}}|=r\quad {\mbox{よ り }}\quad |{\vec {p}}-{\vec {c}}|=r$ である。

ゆえに、$|{\vec {p}}-{\vec {c}}|^{2}=r^{2}$
したがって、$({\vec {p}}-{\vec {c}})\cdot ({\vec {p}}-{\vec {c}})=r^{2}$

また、$C(a,b),\,P(x,y)$ として成分で表すと、$(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}$ であり、円の方程式となる。

• 例. 点C(3, 2)が中心で、点R(1, 1)が通る円

P(x, y)、O(0, 0)、C(3, 2)、R(1, 1)とする。
$|{\overrightarrow {CP}}|=|{\overrightarrow {CR}}|$
$|{\overrightarrow {OP}}-{\overrightarrow {OC}}|=|{\overrightarrow {OR}}-{\overrightarrow {OC}}|$

$OP=(x,y),\,OC=(3,2),\,OR=(1,1)$ より、
$|(x-3,y-2)|=|(-2,-1)|$
${\sqrt {(x-3)^{2}+(y-2)^{2}}}={\sqrt {5}}$
$(x-3)^{2}+(y-2)^{2}=5$

したがって、円の方程式は、$(x-3)^{2}+(y-2)^{2}=5$ となる。

直径がABの円のベクトル方程式

円のベクトル方程式の定義 2

3つの定点を $A({\vec {a}}),\,B({\vec {b}})$ 、円周上の任意の点を $P({\vec {p}})$ とする。
$({\vec {p}}-{\vec {a}})\cdot ({\vec {p}}-{\vec {b}})=0$

下図に示すように、直径がABの円周上の点Pについて考える。

直径に対する円周角は直角であるから、$AP\perp BP$ であり、 ${\overrightarrow {AP}}\cdot {\overrightarrow {BP}}=0$ となる。
したがって、次式となる。
$({\overrightarrow {OP}}-{\overrightarrow {OA}})\cdot ({\overrightarrow {OP}}-{\overrightarrow {OB}})=0$
$\therefore ({\vec {p}}-{\vec {a}})\cdot ({\vec {p}}-{\vec {b}})=0$

• 例1. 円の中心がC(3. 2)で、点R(1, 1)を通る円

  円周上の点Rから円の中心Cを通る直線PRがあり、その円周上の点をP(x, y)とする時、

  $|{\overrightarrow {CP}}|=|{\overrightarrow {CR}}|$

  $|{\overrightarrow {OP}}-{\overrightarrow {OC}}|=|{\overrightarrow {OR}}-{\overrightarrow {OC}}|$

  
  

  ${\overrightarrow {OP}}=(x,y),\,{\overrightarrow {OC}}=(3,2),\,{\overrightarrow {OR}}=(1,1)$ より、

  $|(x-3,y-2)|=|(-2,-1)|$

  ${\sqrt {(x-3)^{2}+(y-2)^{2}}}={\sqrt {5}}$

  $(x-3)^{2}+(y-2)^{2}=5$

  
  

  したがって、$(x-3)^{2}+(y-2)^{2}=5$ となる。

  
  

• 例2. 点A(2, 5)と点B(4, 1)を直径の両端とする円

  円周上の点Rから円の中心Cを通る直線PRがあり、その円周上の点をP(x, y)とする時、

  ${\overrightarrow {AP}}\cdot {\overrightarrow {BP}}=0\qquad \because {\overrightarrow {AP}}\bot {\overrightarrow {BP}}$

  $({\overrightarrow {OP}}-{\overrightarrow {OA}})\cdot ({\overrightarrow {OP}}-{\overrightarrow {OB}})=0$

  
  

  ${\overrightarrow {OP}}=(x,y),\,{\overrightarrow {OA}}=(2,5),\,{\overrightarrow {OB}}=(4,1)$ より、

  $(x-2,y-5)\cdot (x-4,y-1)=0$

  $x^{2}-6x+y^{2}-6y+13=0$

  $(x-3)^{2}-9+(y-3)^{2}-9=-13$

  $(x-3)^{2}+(y-3)^{2}=5$

  
  

  したがって、$(x-3)^{2}+(y-3)^{2}=5$ となる。

円の接線のベクトル方程式

下図(1)のように、円の中心点 $C({\vec {c}})$、円周上の接点を $P_{0}({\vec {p_{0}}})$ とする時、接線上の点 $P({\vec {p}})$ の位置ベクトルは、次式となる。

${\overrightarrow {P_{0}P}}\cdot {\overrightarrow {CP_{0}}}=0$
$({\overrightarrow {p}}-{\overrightarrow {p_{0}}})\cdot ({\overrightarrow {p_{0}}}-{\overrightarrow {c}})=0$

また、下図(2)より、$|{\overrightarrow {CP}}|\cos {\theta }=|{\overrightarrow {CP_{0}}}|$

両辺に、$|{\overrightarrow {CP_{0}}}|$ を乗算すると、
$|{\overrightarrow {CP}}||{\overrightarrow {CP_{0}}}|\cos {\theta }=|{\overrightarrow {CP_{0}}}|^{2}$
${\overrightarrow {CP}}\cdot {\overrightarrow {CP_{0}}}=r^{2}$

したがって、$({\overrightarrow {p}}-{\overrightarrow {c}})\cdot ({\overrightarrow {p_{0}}}-{\overrightarrow {c}})=r^{2}\qquad (1)$ となる。

(1)式は、次のようにしても求めることができる。
$({\overrightarrow {p}}-{\overrightarrow {p_{0}}})\cdot ({\overrightarrow {p_{0}}}-{\overrightarrow {c}})=0$
$({\overrightarrow {p}}-{\overrightarrow {c}}+{\overrightarrow {c}}-{\overrightarrow {p_{0}}})\cdot ({\overrightarrow {p_{0}}}-{\overrightarrow {c}})=0$
これを展開する。
${\begin{aligned}({\overrightarrow {p}}-{\overrightarrow {c}})\cdot ({\overrightarrow {p_{0}}}-{\overrightarrow {c}})&=({\overrightarrow {p_{0}}}-{\overrightarrow {c}})\cdot ({\overrightarrow {p_{0}}}-{\overrightarrow {c}})\\&=|{\overrightarrow {p_{0}}}-{\overrightarrow {c}}|^{2}\\&=r^{2}\end{aligned}}$

点Pの位置ベクトルを $P({\vec {p}})=(x,y)$、円の中心Cの位置ベクトル $C({\vec {c}})=(a,b)$、接点P₀の位置ベクトル $P_{0}({\vec {p_{0}}})=(x_{0},y_{0})$ とする。
$({\overrightarrow {p}}-{\overrightarrow {c}})\cdot ({\overrightarrow {p_{0}}}-{\overrightarrow {c}})=r^{2}$
$(x-a,y-b)\cdot (x_{0}-a,y_{0}-b)=r^{2}$
$(x_{0}-a)(x-a)+(y_{0}-b)(y-b)=r^{2}$

これは、円の接線の方程式を表していることが分かる。

• 例. 円の中心 $C(1,1)$、半径 ${\sqrt {2}}$ の円に、$P(2,2)$ で接する接線の方程式をベクトルを用いて求めよ。

  ${\overrightarrow {OC}}=(1,1),\,{\overrightarrow {OA}}=(2,2),\,{\overrightarrow {OP}}=(x,y)$ とする。

  ${\overrightarrow {AP}}\cdot {\overrightarrow {AC}}=0\quad \Longrightarrow \quad ({\vec {p}}-{\vec {a}})\cdot ({\vec {c}}-{\vec {a}})=0$ より、

  $(x-2,y-2)\cdot (1,1)=x-2+y-2=x-y-4=0$

  $\therefore y=-x+4$