応用数学 - 1階常微分方程式

概要

1階常微分方程式としては、以下のようなものがある。
これらは方程式の形により分類される。

• 変数分離形微分方程式
• 同次形微分方程式
• 1階線形微分方程式
• ベルヌーイ形微分方程式
• 完全微分方程式

${\frac {dy}{dx}}$の扱い

以下の命題は、${\frac {dy}{dx}}$ は、形式的に分数のように扱うことができることを示している。

命題1.
$\int {\left(g(y){\frac {dy}{dx}}\right)dx}=\int {g(y)dy}$

証明.
$y=\phi (x)$ とおいて、両辺をxで微分すると、${\frac {dy}{dx}}={\frac {d\phi }{dx}}$
置換積分の公式より、$\int {g(y)dy}=\int {g(\phi (x)){\frac {d\phi }{dx}}dx}$
$y=\phi (x)$ より、
$\int {g(\phi (x)){\frac {d\phi }{dx}}dx}=\int {\left(g(y){\frac {dy}{dx}}\right)dx}$

命題2.
$g(y)dy=f(x)dx\Rightarrow \int {g(y)dy}=\int {f(x)dx}$

証明.
$g(y)dy=f(x)dx$ の両辺をdxで除算して、本来の記号 ${\frac {dy}{dx}}$ に戻すと次式となる。
$g(y){\frac {dy}{dx}}=f(x)$

両辺をxで積分すると次式となる。
$\int {g(y)\left({\frac {dy}{dx}}\right)dx}=\int {f(x)dx}$

左辺に対して命題1を適用すると次式となる。
$\int {g(y)dy}=\int {f(x)dx}$

命題3.
$f(x)dx+g(y)dy=0\Rightarrow \int {f(x)dx}+\int {g(y)dy}=C\qquad {\mbox{( C : 任 意 の 定 数 )}}$

証明.
$f(x)dx+g(y)dy=0$ の両辺をdxで除算して、本来の記号${\frac {dy}{dx}}$ に戻すと次式となる。
$f(x)+g(y)\left({\frac {dy}{dx}}\right)=0$

この両辺をxで積分すると次式となる。
${\begin{aligned}\int {f(x)+g(y)\left({\frac {dy}{dx}}\right)dx}&=0\\\int {f(x)dx}+\int {g(y)\left({\frac {dy}{dx}}\right)dx}&=C\end{aligned}}$

左辺第2項に命題1を適用して整理する。
$\int {f(x)dx}+\int {g(y)dy}=C\qquad {\mbox{( C : 任 意 の 定 数 )}}$

変数分離形微分方程式

f(x)をxのみの関数、g(y)をyのみの関数とする時、以下に示す形になる微分方程式を変数分離形という。
$g(y){\frac {dy}{dx}}=f(x)$

変数分離系の方程式は、以下のように記述することもある。

• $g(y)dy=f(x)dx$
• $f(x)dx-g(y)dy=0$
• ${\frac {dy}{dx}}=f(x)h(y)\quad \because h(y)={\frac {1}{g(y)}}$

• 変数分離形の例

  ${\frac {dy}{dx}}=2xy$

  ${\frac {dy}{dx}}=(x^{2}+1)\left(y+{\frac {1}{y}}\right)$

  
  

• 変数分離形ではない例

  ${\frac {dy}{dx}}=2x+3y$

  ${\frac {dy}{dx}}=x-y$

例題1. 
微分方程式の一般解を求めよ。
${\frac {dy}{dx}}=x$

解答.
${\begin{aligned}dy&=xdx\\\int {dy}&=\int {xdx}\\y&={\frac {1}{2}}x^{2}+C\qquad {\mbox{( C : 任 意 の 定 数 )}}\end{aligned}}$

例題2.
微分方程式の一般解を求めよ。
${\frac {dy}{dx}}=y$

解答.
${\begin{aligned}{\frac {1}{y}}dy&=dx\\\int {{\frac {1}{y}}dy}&=\int {dx}\\\ln {|y|}&=x+C\qquad {\mbox{( C : 任 意 の 定 数 )}}\\|y|&=e^{x+C}\\y&=\pm e^{C}e^{x}\\y&=Ce^{x}\qquad {\mbox{( C : 任 意 の 定 数 )}}\end{aligned}}$

例題3.
微分方程式の一般解を求めよ。
$ydy=xdx$

解答.
${\begin{aligned}\int {ydy}&=\int {xdx}\\{\frac {1}{2}}y^{2}&={\frac {1}{2}}x^{2}+C\qquad {\mbox{( C : 任 意 の 定 数 )}}\\y^{2}&=x^{2}+2C\\y^{2}&=x^{2}+C\qquad {\mbox{( C : 任 意 の 定 数 )}}\end{aligned}}$

例題4.
微分方程式の一般解を求めよ。
$xdx-(1+x^{2})dy=0$

解答.
$dy={\frac {x}{1+x^{2}}}$ とおく。
${\begin{aligned}\int {dy}&=\int {{\frac {x}{1+x^{2}}}dx}\\y&={\frac {1}{2}}\int {\frac {2x}{1+x^{2}}}\\y&={\frac {1}{2}}\ln(1+x^{2})+C\qquad {\mbox{( C : 任 意 の 定 数 )}}\\\end{aligned}}$

同次形微分方程式

${\frac {dy}{dx}}$ が ${\frac {y}{x}}$ のみの関数になっている微分方程式を、同次形微分方程式という。
${\frac {dy}{dx}}=f\left({\frac {y}{x}}\right)$

同次形微分方程式は、変数変換することにより、変数分離形として記述できる。

変数分離形として記述できることの説明

$u={\frac {y}{x}}$ とおけば、$y=ux$ より、積の微分公式を使用して、${\frac {dy}{dx}}={\frac {du}{dx}}x+u$ となる。
これを、${\frac {dy}{dx}}=f\left({\frac {y}{x}}\right)$ に代入すると、$u+{\frac {du}{dx}}x=f(u)$ となる。
したがって、${\frac {du}{dx}}={\frac {f(u)-u}{x}}$

これは未知関数uの変数分離形である。

同次形微分方程式の例

• ${\frac {dy}{dx}}={\frac {y}{x}}+1$
• ${\frac {dy}{dx}}=2\left({\frac {y}{x}}\right)^{3}+{\frac {y}{x}}$
• ${\frac {dy}{dx}}={\frac {(x+y)}{(x-y)}}\quad \Rightarrow$ 分母分子をxで除算すると、${\frac {dy}{dx}}={\frac {1+{\frac {y}{x}}}{1-{\frac {y}{x}}}}$ と記述できるため、同次形微分方程式である。

例題.
微分方程式の一般解を求めよ。
${\frac {dy}{dx}}={\frac {y}{x}}+1$

解答.
${\frac {y}{x}}=u$ とおくと、$y=ux$
積の微分公式より、${\frac {dy}{dx}}={\frac {du}{dx}}x+u$

これを微分方程式に代入すると、$u+{\frac {du}{dx}}x=u+1$ となり、各項を計算すると、${\frac {du}{dx}}x=1$ となる。
したがって、${\frac {du}{dx}}={\frac {1}{x}}$ であるため、変数分離形となる。

この両辺をxで積分すると、
${\begin{aligned}\int {{\frac {du}{dx}}dx}&=\int {\frac {1}{x}}dx\\\int {du}&=\int {{\frac {1}{x}}dx}\\u&=\ln |x|+C\end{aligned}}$

$u={\frac {y}{x}}$ であるので、これを上式に代入すると、次式となる。
${\frac {y}{x}}=\ln |x|+C$

したがって、一般解は、
$y=x(\ln(|x|)+C)\qquad {\mbox{( C : 任 意 定 数 )}}$

1階線形微分方程式

1階線形微分方程式とは

$f(x),g(x)$ をxのみの関数とする時、以下の形の微分方程式を、1階線形微分方程式(first-order linear differential equation)という。

${\frac {dy}{dx}}+f(x)y=g(x)\quad \cdots (1)$

上式(1)の中で、$g(x)=0$ の以下の方程式を同次方程式(homogeneous equation)という。

${\frac {dy}{dx}}+f(x)y=0\quad \cdots (2)$

上式(1)の中で、$g(x)\neq 0$ の場合の方程式を非同次方程式(inhomogeneous equation)という。

同次方程式は、変数分離形の方程式となる。

理由.
${\frac {dy}{dx}}+f(x)y=0\quad {\mbox{( 同 次 方 程 式 )}}$ を記述し直すと、
${\frac {1}{y}}{\frac {dy}{dx}}=-f(x)\quad (y\neq 0)$ となり、左辺はyのみの関数、右辺はxのみの関数となる。

• まとめ:

• 同次方程式(変数分離形)

  ${\frac {dy}{dx}}+f(x)y=0$

• 非同次方程式

  ${\frac {dy}{dx}}+f(x)y=g(x)\quad (g(x)\neq 0)$

1階線形微分方程式の例

• ${\frac {dy}{dx}}+y=x$
• ${\frac {dy}{dx}}+3x^{2}y=5x^{2}$
• ${\frac {dy}{dx}}+{\frac {y}{x}}=\sin {x}$

1階線形微分方程式ではない例

• $y^{n}(n\geq 2)$ の項があるものは、非線形である。

例. ${\frac {dy}{dx}}+2xy=2xy^{4}\qquad$ (ベルヌーイ形の微分方程式)

1階線形微分方程式の一般解

定理
1階線形微分方程式 ${\frac {dy}{dx}}+f(x)y=g(x)$ の一般解は、以下の公式で表される。
$y={\frac {1}{h(x)}}\left\{\int {g(x)h(x)dx+C}\right\}\qquad {\mbox{( C : 任 意 の 定 数 ) }}$

ここで、$h(x)=e^{\int {f(x)dx}}$
$\int {f(x)dx}$ は $f(x)$ の原始関数の1つ

上式にある $h(x)$ を積分因子(integrating factor)という。

1階線形微分方程式の一般解の証明

1階線形微分方程式 ${\frac {dy}{dx}}+f(x)y=g(x)\cdots (1)$ の両辺に $h(x)=e^{\int {f(x)dx}}\cdots (2)$を乗算すると、次式が得られる。
${\begin{aligned}\left({\frac {dy}{dx}}+f(x)y\right)h(x)&=g(x)h(x)\\{\frac {dy}{dx}}h(x)+y(f(x)h(x))&=g(x)h(x)\cdots (3)\end{aligned}}$

ここで、$f(x)h(x)={\frac {dh(x)}{dx}}$ である。
なぜなら、上式(2)において、$u=\int {f(x)dx}$ とおくと、$h(x)=e^{u}$ であるので、合成関数の微分公式より、次式が得られるからである。
${\begin{aligned}{\frac {dh(x)}{dx}}&={\frac {de^{u}}{dx}}{\frac {du}{dx}}\\&=e^{u}{\frac {d}{dx}}\left\{\int {f(x)dx}\right\}\\&=f(x)e^{u}\\&=f(x)h(x)\end{aligned}}$

したがって、$f(x)h(x)={\frac {dh(x)}{dx}}$ を考慮して、上式(3)の左辺を記述し直すと、${\frac {dy}{dx}}h(x)+y{\frac {dh(x)}{dx}}=g(x)h(x)$
さらに、積の微分公式より、${\frac {d}{dx}}(yh(x))=g(x)h(x)\cdots (4)$ となる。

上式(4)の両辺をxで積分すると、次式が得られる。
$yh(x)=\int {g(x)h(x)dx+C}$

したがって、一般解は次式で表される。
$y={\frac {1}{h(x)}}\left\{\int {g(x)h(x)dx+C}\right\}\qquad {\mbox{( C : 任 意 の 定 数 )}}$
QED.

1階線形微分方程式の例題

例題1. 1階線形微分方程式の一般解を求めよ。
$x{\frac {dy}{dx}}+y=2x$

解答.
両辺をxで割ると、${\frac {dy}{dx}}+{\frac {y}{x}}=2$ より、
$f(x)={\frac {1}{x}},\quad g(x)=2$ となる。

積分因子 $h(x)$ を求める。
$h(x)=e^{\int {f(x)dx}}=e^{\int {{\frac {1}{x}}dx}}=e^{\ln(|x|)}=|x|\cdots (2)$

上記の式を $y={\frac {1}{h(x)}}\left\{\int {g(x)h(x)dx+C}\right\}$ に代入すると、
$y={\frac {1}{|x|}}\left\{\int {2|x|dx+C}\right\}$

ここで、$|x|=\pm x$ より、
${\begin{aligned}y&={\frac {1}{\pm x}}\left\{\int {2\pm xdx+C}\right\}\\&={\frac {1}{x}}\left\{\int {2xdx+C}\right\}\\&={\frac {1}{x}}(x^{2}+C)\\&=x+{\frac {C}{x}}\end{aligned}}$

ゆえに、一般解は次式となる。
$y=x+{\frac {C}{x}}\qquad {\mbox{( C : 任 意 の 定 数 )}}$