第7回 - ベイズの定理

概要

推定統計を学習する準備として、確率の基礎に関する次の事項を記載する。

1. 条件付き確率
2. ベイズの定理

条件付き確率

条件付き確率とは、2個の事象AとBがあるとき、既に事象Aが起きた場合に、事象Bも合わせて起きる確率を条件付き確率P(B|A)という。
P(B|A)
P(左 : 合わせて起きる事象 | 右 : 既に起きた事象)

条件付き確率の式(事象Aが起きた場合に、事象Bも合わせて起きる条件付き確率)は、次式で表される。
$P(B|A)={\frac {n(A\cap B)}{n(A)}}={\frac {\frac {n(A\cap B)}{n(U)}}{\frac {n(A)}{n(U)}}}={\frac {P(A\cap B)}{P(A)}}$
$P(A\cap B)=P(B|A)\times P(A)$

条件付き確率P(B|A)と同時確率P(A∩B)の違い

• 条件付き確率P(B|A)

  全事象をAのみとしている。

  つまり、事象Aが起きた場合の中で、さらに事象Bも起きる確率P(B|A)を考える。

  
  

• 同時確率P(A∩B)

  全事象をUとしている。

  つまり、事象Aが起きた場合のみに限定せず、A以外が起きる場合も合わせた上で事象AとBが同時に起きる確率を考える。

ベイズの定理

以下に、ベイズの定理の導出過程を示す。

条件付き確率の計算式の2式
${\begin{cases}P(B|A)={\frac {P(A\cap B)}{P(A)}}\\P(A|B)={\frac {P(A\cap B)}{P(B)}}\end{cases}}$

上式より、次式が求まる。
${\begin{cases}P(A\cap B)=P(B|A)\times P(A)\\P(A\cap B)=P(A|B)\times P(B)\end{cases}}$

さらに、上式をまとめると次式となる。

$P(A|B)\times P(B)=P(B|A)\times P(A)$

$P(A|B)={\frac {P(B|A)\times P(A)}{P(B)}}$

あるいは下図に示すように、
$P(B_{i}|A)={\frac {P(A|B_{i})\times P(B_{i})}{P(A)}}$

ベイズの定理は、先に事象Bが起きた場合に、後の事象Aが起きる場合の確率P(A|B)が分かっている場合において、
逆に後の事象Aが起きたと分かっている時に、先の事象Bが起きる場合の確率P(B|A)を与えるものである。

ベイズの定理の例

あるガンの検査装置の性能が以下の通りとする。

• ガンである被験者を検査し ガンと検出した確率

  P 検出した ガンである = 0.9

• ガンでない被験者を検査し ガンと検出した確率

  P 検出した ガンでない = 0.1

• ガンになる確率

  P(ガンである) = 0.001

• ガンにならない確率

  P(ガンでない) = 0.999

この時、検査装置が検出した時に被験者が癌である確率P(ガンである|検出した)を求めよ。