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「ガウス積分」の版間の差分
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== ガウス積分 == | == ガウス積分 == | ||
==== ガウス積分 1 ==== | |||
<math>\int_{- \infty}^{\infty} {e^{- x^{2}}} \ dx</math><br> | <math>\int_{- \infty}^{\infty} {e^{- x^{2}}} \ dx</math><br> | ||
<br> | <br> | ||
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</math><br> | </math><br> | ||
<br> | <br> | ||
(1) | 上式(1)より、次式のように考えることができる。<br> | ||
<math> | <math> | ||
\begin{align} | \begin{align} | ||
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</math><br> | </math><br> | ||
<br> | <br> | ||
(2) | 上式(2)より、次式が求められる。<br> | ||
<math>\int_{- \infty}^{\infty} {e^{-x^{2}}} \ dx = \sqrt{\pi}</math><br> | <math>\int_{- \infty}^{\infty} {e^{-x^{2}}} \ dx = \sqrt{\pi}</math><br> | ||
<br> | |||
==== ガウス積分 2 ==== | |||
<math>\int_{- \infty}^{\infty} {e^{- ax^{2}}} \ dx</math><br> | |||
<br> | |||
まず、次式を考える。<br> | |||
<math>\int_{- \infty}^{\infty} \int_{- \infty}^{\infty} e^{- a (x^{2} + y^{2})} \ dxdy \qquad D = \{ (x, y) \ | \ 0 < a, \ 0 \le x^{2} + y^{2} \le \infty, - \infty \le x \le \infty, \ - \infty \le y \le \infty \}</math><br> | |||
<br> | |||
円が含まれる場合は、極座標変換 <math>x = r \cos{\theta}, \, y = r \sin{\theta}(r \ge 0, \, 0 \le \theta \le 2 \pi)</math>とおく。<br> | |||
変換後の積分範囲D'は、<math>D' = \{ (r, \theta) \, | \, 0 \le r \le \infty, \ 0 \le \theta \le 2 \pi \}</math> の形に変形でき、2重積分を計算することができる。<br> | |||
<br> | |||
<math> | |||
\begin{align} | |||
& \int_{- \infty}^{\infty} \int_{- \infty}^{\infty} e^{- a (x^{2} + y^{2})} \ dxdy \\ | |||
=& \iint_{D'} e^{- a (r^2 \cos^{2}{\theta} + r^2 \sin^{2} \theta)} r \ drd \theta \\ | |||
=& \iint_{D'} e^{-ar^2} r \ drd \theta \qquad \because \cos^{2}{\theta} + \sin^{2} \theta = 1 \\ | |||
=& \int_{0}^{2 \pi} d \theta \int_{0}^{\infty} {e^{-ar^2}} r \ dr \\ | |||
=& 2 \pi \int_{0}^{\infty} {e^{-ar^2}} r \ dr \qquad \cdots (1) | |||
\end{align} | |||
</math><br> | |||
<br> | |||
ここで、<math>t = r^{2}</math> として変数変換を行う。<br> | |||
<math>\frac{dt}{dr} = 2r</math> より、<math>\frac{1}{2} dt = r dr</math> となる。<br> | |||
また、<math>r = 0, \, r = \infty</math> の時、積分範囲は次式となる。<br> | |||
<math> | |||
\begin{cases} | |||
r = 0 &\implies t = 0 \\ | |||
r = \infty &\implies t = \infty \\ | |||
\end{cases} | |||
</math><br> | |||
<br> | |||
上記の変数変換により、上式(1)は次のように計算することができる。<br> | |||
<br> | |||
<math> | |||
\begin{align} | |||
& \pi \int_{0}^{\infty} {e^{-at}} \ dt \\ | |||
=& - \frac{\pi}{a} \big[ e^{-at} \Big]_{0}^{\infty} \\ | |||
=& - \frac{\pi}{a} (0 - 1) \\ | |||
=& \frac{\pi}{a} \qquad \cdots (2) | |||
\end{align} | |||
</math><br> | |||
<br> | |||
次に、上式(2)の極座標における広義積分 <math>\int_{- \infty}^{\infty} \int_{- \infty}^{\infty} e^{- a (x^{2} + y^{2})} \ dxdy = \frac{\pi}{a}</math> より、次式のように分けることができる。<br> | |||
この時、積分変数の文字は何でもよい。<br> | |||
<br> | |||
<math> | |||
\begin{align} | |||
& \int_{- \infty}^{\infty} \int_{- \infty}^{\infty} e^{- a (x^{2} + y^{2})} \ dxdy \\ | |||
=& \int_{- \infty}^{\infty} {e^{-ax^{2}}} \ dx \int_{- \infty}^{\infty} {e^{-ay^{2}}} \ dy \qquad \cdots (3) | |||
\end{align} | |||
</math><br> | |||
<br> | |||
上式(3)より、次式のように考えることができる。<br> | |||
<math> | |||
\begin{align} | |||
& \int_{- \infty}^{\infty} {e^{-ax^{2}}} \ dx \int_{- \infty}^{\infty} {e^{-ay^{2}}} \ dy \\ | |||
=& \left( \int_{- \infty}^{\infty} {e^{-ax^{2}}} \ dx \right)^{2} = \frac{\pi}{a} \qquad \cdots (4) | |||
\end{align} | |||
</math><br> | |||
<br> | |||
上式(4)より、次式が求められる。<br> | |||
<math>\int_{- \infty}^{\infty} {e^{-ax^{2}}} \ dx = \sqrt{\frac{\pi}{a}}</math><br> | |||
<br> | |||
<br><br> | <br><br> | ||