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「情報理論 - ガロア体」の版間の差分
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→体F上の多項式
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そして、体F上の多項式間の演算は、実数体上の多項式と同様に行う。<br> | そして、体F上の多項式間の演算は、実数体上の多項式と同様に行う。<br> | ||
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==== 原始多項式 ==== | |||
<math>f(x) \in R[X]</math> の全ての係数の最大公約元が単元である時、<math>f(x)</math> は原始多項式(primitive polynomial)という。<br> | |||
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例 :<br> | |||
<math>f(x) = 2x^{3} + 2x^{2} + 2x + 2 \in Z[x]</math> は全ての係数が2で除算できるため原始多項式ではない。<br> | |||
<math>f(x) = 6x^{2} + 3x + 4 \in Z[x]</math> は原始多項式である。<br> | |||
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原始多項式の特徴<br> | |||
* 全ての最小多項式は既約であるから，原始多項式は既約である。 | |||
* 原始多項式の定数項の係数は、非零でなければならない。<br>そうでないと，多項式xで因数分解できてしまうからである。 | |||
* <math>GF(2)</math> においては、<math>x + 1</math> は原始多項式であるが、それ以外の全ての原始多項式は奇数個の項を持つ。<br>なぜなら、偶数個の項を持つ多項式は、<math>\mod{2}</math> では必ず多項式 <math>(x + 1)</math> で因数分解できてしまうからである。<br>（すなわち、<math>x = 1</math> を根として持つ） | |||
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==== 既約多項式 ==== | ==== 既約多項式 ==== | ||
体F上の多項式で、それよりも次数の低い体F上多項式に因数分解できない多項式を既約多項式という。<br> | 体F上の多項式で、それよりも次数の低い体F上多項式に因数分解できない多項式を既約多項式という。<br> | ||