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「応用数学 - ラプラス変換」の版間の差分
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→ラプラス変換による微分方程式の解法
(→微分法則) |
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\iff (s - 1) \mathcal{L}[t e^{t}] &= \frac{1}{s - 1} \qquad (s > 1) \\ | \iff (s - 1) \mathcal{L}[t e^{t}] &= \frac{1}{s - 1} \qquad (s > 1) \\ | ||
\iff \mathcal{L}[t e^{t}] &= \frac{1}{(s - 1)^{2}} \qquad (s > 1) | \iff \mathcal{L}[t e^{t}] &= \frac{1}{(s - 1)^{2}} \qquad (s > 1) | ||
\end{align} | |||
</math> | |||
<br><br> | |||
== 積分法則 == | |||
定理: | |||
<math>f(t)</math> は <math>t \ge 0</math> において区分的に連続であり、ある定数M, αに対して、 <math>|f(t)| \le M e^{\alpha t}</math> が成立すると仮定する。 | |||
この時、以下が成立する。 | |||
<math>\mathcal{L} \left[ \int_{0}^{t} {f(u) du} \right] = \frac{1}{s} \mathcal{L}[f(t)] \qquad (s > max(0, \, \alpha))</math> | |||
説明: | |||
原関数を積分することは、像関数をsで除算することに対応する。 | |||
参考: | |||
原関数の微分は、像関数をs倍すること(その後に定数を減算すること)に対応する。 | |||
<br> | |||
例題: | |||
積分法則を使用して以下の値を求めよ。 | |||
<math>\mathcal{L} \left[ \int_{0}^{t} {\sin(3u) du} \right]</math> | |||
解答: | |||
積分法則より、 | |||
<math> | |||
\begin{align} | |||
\mathcal{L} \left[ \int_{0}^{t} {\sin(3u) du} \right] &= \frac{1}{s} \mathcal{L}[\sin(3t)] \\ | |||
&= \frac{1}{s} \frac{3}{s^{2} + 3^{2}} \\ | |||
&= \frac{3}{s (s^{2} + 9)} \qquad (s > 0) | |||
\end{align} | |||
</math> | |||
参考: | |||
<math>\mathcal{L}[\sin(at)] = \frac{a}{s^{2} + a^{2}} \qquad (s > 0)</math> | |||
<br><br> | |||
== <math>t^{n}</math> 積法則 == | |||
定理: | |||
<math>f(t)</math>は、 <math>t \ge 0</math> において区分的に連続で指数α位の関数とする。 | |||
この時、 <math>\mathcal{L}[t^{n} f(t)] (n = 1, \, 2, \, \cdots)</math> が存在し、 <math>\mathcal{L}[f(t)] = F(s)</math> とおくとき、以下が成立する。 | |||
<math>\mathcal{L}[t^{n} f(t)] = (-1)^{n} \frac{d^{n} F(s)}{ds^{n}} \qquad (s > \alpha, \, n = 1, \, 2, \, 3, \, \cdots)</math> | |||
説明: | |||
原関数の世界で「関数を <math>t^{n}</math> 倍する」ことは、像関数の世界では「関数を <math>n</math> 回微分して <math>(-1)^{n}</math> 倍する」ことに対応する。 | |||
<math>t^{n}</math> 積法則の具体例: | |||
<math>f(t)</math> は、先の定理の仮定を満たしているとする。 | |||
この時、以下が成立する。 | |||
(1) <math>n = \mbox{ 正 整 数 }</math> の場合: | |||
<math>\mathcal{L}[t^{n} f(t)] = (-1)^{n} \frac{d^{n} F(s)}{ds^{n}}</math> | |||
(2) <math>n = 1</math> の場合: | |||
<math>\mathcal{L}[t f(t)] = - \frac{dF(s)}{ds}</math> | |||
(3) <math>n = 2</math> の場合: | |||
<math>\mathcal{L}[t^{2} f(t)] = \frac{d^{2} F(s)}{ds^{2}}</math> | |||
<br> | |||
例題: | |||
<math>t^{n}</math> 積法則を使用して以下の値を求めよ。 | |||
<math>\mathcal{L}[t e^{2t}]</math> | |||
解答: | |||
<math>f(t) = e^{2t}</math> とおくと、 | |||
<math>\mathcal{L}[f(t)] = L[e^{2t}] = \frac{1}{s - 2} = (s - 2)^{-1} \qquad (s > 2)</math> | |||
<math>t^{n}</math> 積法則の <math>n = 1</math> の場合を適用すると以下が得られる。 | |||
<math>\mathcal{L}[t e^{2t}] = - \frac{dF(s)}{ds} = - \frac{d}{ds} \, (s - 2)^{-1}</math> | |||
ここで、合成関数の微分公式を使用して、 | |||
<math> | |||
\begin{align} | |||
\mbox{ 与 式 } &= - (-1) (s - 2)^{-2} \\ | |||
&= \frac{1}{(s - 2)^{2}} \qquad (s > 2) | |||
\end{align} | \end{align} | ||
</math> | </math> | ||