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「応用数学 - ラプラス変換」の版間の差分
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→ラプラス変換の定義
(ページの作成:「== 概要 == ラプラス変換(Laplace transform)は、<math>t \ge 0</math> で定義された関数 <math>f(t)</math> から無限積分を用いて、新しい関数 <math>F(s)</math> を作り出す積分変換である。<br> ラプラス変換は、微分方程式を代数演算に帰着させて解くための方法を与える。<br> <br> ラプラス変換を使用すると、ある種の微分方程式に関しては、ややこしい積分を使用せず…」) |
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<br> | <br> | ||
ラプラス変換は、変数tの関数の集合(原関数の集合)から、変数sの関数の集合(像関数の集合)への変換規則を表している。<br> | ラプラス変換は、変数tの関数の集合(原関数の集合)から、変数sの関数の集合(像関数の集合)への変換規則を表している。<br> | ||
<br><br> | |||
== ラプラス変換の定義に関する例題 == | |||
ラプラス変換の定義に従って、関数 <math>f(t) = 1</math> のラプラス変換 <math>L[f]</math> を求めよ。 | |||
<math> | |||
\begin{align} | |||
L[f] &= \int_{0}^{+ \infty} {f(t) \, e^{-st}} dt \\ | |||
&= \int_{0}^{+ \infty} {e^{-st}} dt | |||
\end{align} | |||
</math> | |||
<br> | |||
sの値により場合分けする。<br> | |||
<br> | |||
<math>s = 0</math> の時 | |||
<math> | |||
\begin{align} | |||
L[f] &= \int_{0}^{+ \infty} {e^{-0 \dot t}} dt = \int_{0}^{+ \infty} dt \\ | |||
&= \lim_{\beta \to + \infty} {\int_{0}^{\beta}} {dt} \\ | |||
&= \lim_{\beta \to + \infty} \Big[ t \Big]_{0}^{\beta} \\ | |||
&= \lim_{\beta \to + \infty} {\beta} \\ | |||
&= + \infty | |||
\end{align} | |||
</math> | |||
<br> | |||
<math>s \ne 0</math> の時 | |||
<math> | |||
\begin{align} | |||
L[f] &= \int_{0}^{+ \infty} {e^{-st}} dt \\ | |||
&= \lim_{\beta \to + \infty} {\int_{0}^{\beta} {e^{-st}} dt} \\ | |||
&= \lim_{\beta \to + \infty} \Big[ - \frac{e^{-st}}{s} \Big]_{0}^{\beta} \\ | |||
&= \lim_{\beta \to + \infty} {- \frac{e^{-s \beta} - 1}{s}} \\ | |||
&= \lim_{\beta \to + \infty} {\frac{1 - e^{- s \beta}}{s}} \\ | |||
&= | |||
\begin{cases} | |||
+ \infty & (s < 0 \mbox{ の と き } ) \\ | |||
\frac{1}{s} & (s > 0 \mbox{ の と き } ) | |||
\end{cases} | |||
\end{align} | |||
</math> | |||
<br> | |||
以上より、<math>s > 0</math> の時のみ <math>L[f]</math> は収束し、次式となる。<br> | |||
<math>L[1] = \frac{1}{s} \qquad (s > 0)</math><br> | |||
<br><br> | <br><br> | ||